88多元函数的极值及其求法.pptxVIP

7.8多元函数的极值与最值多元函数的极值和最值条件极值 拉格朗日乘子(数)法小结 思考题 作业第8章 多元函数微分法及其应用科技问题中,在管理科学、经济学和许多工程、它们常常需要求一个多元函数的最大值或最小值,通常称实际问题中出现的需要求其最统称为最值.值的函数为目标函数,该函数的自变量被称为决策优化问题.相应的问题在数学上被称为变量.多元函数的最值也与一元函数中的情形类似,所以首先研究最简单的多元与其极值有密切关系,大部函数所得到的结论, 二元函数的极值问题.分可以推广到三元及三元以上的多元函数中.回忆一元函数极值的必要条件如果函数f (x)在x0处可导, 且f (x)在x0处取得那么极值,一元函数极值(第二)充分条件则f (x0)为极大值(极小值).一、多元函数的极值和最值1. 极大值和极小值的定义回忆一元函数的极值的定义是在一点附近将函数值比大小.设函数z = f (x, y) 在点P0 (x0, y0)的某 定义邻域内有定义,若在此邻域内对异于P0的点,恒有 则称点P0 (x0, y0)为函数的极大 值点, (或极小)f (x0, y0)为函数的极大 值.(或极小) 注极值. 函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点.多元函数的极值也是局部的,是与P0的邻域内的值比较. 一般来说: 极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极小值可能比极大值还大.? 函数 存在极值, 在简单的情形下是容易判断的.例函数椭圆抛物面在(0,0)点取极小值. (也是最小值).下半个圆锥面例函数在(0,0)点取极大值.(也是最大值).例函数马鞍面在(0,0)点无极值.2.极值的必要条件设函数 z = f (x, y)(极值的必要条件)定理在点(x0, y0)具有偏导数,且在点(x0, y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:证不妨设z = f (x, y)在点(x0, y0)处有极大值,都有则对于(x0, y0)的某邻域内任意说明一元函数 f (x, y0)在 有极大值,必有类似地可证如果三元函数u = f (x, y, z)在点推广P (x0, y0 , z0)具有偏导数,则它在P (x0, y0, z0)有极值的必要条件为: 注仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,(稳定点).驻点均称为函数的从几何上看,此时如曲面z = f (x, y)在点(x0, y0, z0)处有切平面, 则成为平行于xOy坐标面的平面驻点极值点如,驻点,但不是极值点.?如何判定一个驻点是否为极值点3.极值的充分条件定理(极值的充分条件)设函数z = f (x, y)在点(x0, y0)的某邻域内有连续的二阶偏导数, 且则f (x, y) 在点(x0, y0)处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.求函数z = f (x, y)极值的一般步骤:第一步:解方程组求出实数解,得驻点.第二步:对于每一个驻点(x0, y0),求出二阶偏导数的值定出第三步:的符号,再判定是否是极值.例1 的极值.解又在点(0,0)处, 故f (x, y)在(0,0)无极值;在点(a, a)处, 故f (x, y)在(a, a)有极大值,即考研数学二, 选择题, 4分练习D(A) 不是f (x, y)的连续点.(B) 不是f (x, y)的极值点.(D) 是f (x, y)的极小值点.(C) 是f (x, y)的极大值点.解又在点(0,0)处, 故点(0,0)为函数z = f (x,y)的一个极小值点.求由方程例2解将方程两边分别对x, y求偏导数,驻点为令将上方程组再分别对x, y求偏导数,故函数在 P 有极值.将驻点代入原方程,所以为极小值;为极大值.所以练习求由方程解法二 配方法 方程可变形为※ 于是 显然, 根号中的极大值为4,由※可知,为极值.即为极大值,为极小值.注由极值的必要条件知, 极值只可能在驻点处取得.然而, 如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,但也可能是极值点.下半个圆锥面函数如:在点(0,0)处的偏导数不存在, 但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时, 除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点.4.多元函数的最值回忆求一元连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最值的一般步骤:将闭区间[a, b]内所有驻点和导数不存在的点区间端点的函数(即为极值嫌疑点)处的函数值和值 f (a), f (b)比较,其中最大(小)者就是 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小)值.与一元函数相类似, 可利用函数的极值来求函数的最大值和最小