“再创造”教学一例.docVIP

第 PAGE 1 页 高中数学“再创造”教学一例 高中数学 江山中学 姜军 荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔认为，数学教育是一个活动过程，“学生应当通过再创造来学习数学，……这样获得的知识与能力才能更 好地理解，而且能保持长久的记忆”.因此,应使学生在学习过程的不同层次中,始终处于积极、创造的状态.解题教学是数学教学的一个重要环节，也是发展学生数学能力的主要途径.笔者以为,在解题教学中,教师若能选择恰当的例题,并引导学生对例题进行“再创造”，让学生“小题大做”、“借题发挥”，则往往能收到激活学生思维、培养学生创新意识及探究能力的教学效果.下文以一堂关于椭圆到其对称轴上一点的最近距离问题的“再创造”习题课,谈谈自己的教学体会和认识. BAyx图1 1.给出问题,提供学生 B A y x 图1 教师提出如下问题,要求学生独立完成. 原题：如图1,设椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最短距离为，求此椭圆方程. 本题难度不大,一般学生都能解答. 解：依题意, 可设椭圆方程为,由条件得,解得,∴, 故所求椭圆方程为 本题虽然难度不大,却是学生“再创造”学习的起点,同时也符合学生从易到难、从简单到复杂的认知规律. 2.启发引导, 在“再创造”中引申推广 在教学过程中，教师若能创设问题情境，引导学生通过“再创造”将问题进行变式引申或推广，这不仅有利于培养学生的创新精神和探究能力，同时也是学生进行“再创造”学习的主渠道. 针对上述问题,教师可提问:该同学的解题过程是否完满,还需要补充什么吗? 为什么? 教师提出问题后,刚开始还有部分学生感到有些不以为然,却也引发了他们的思考和探究欲望,不一会儿就有学生发言. ：我认为，解题过程中焦点到椭圆的最短距离等于需要证明一下,因为课本中并没有明确给出这个结论. 教师追问：那么如何证明呢？学生议论开来，过了一会儿就有学生发言. ：由椭圆的第二定义结合图形可知:椭圆上到右焦点距离最近的点是右顶点,到左焦点距离最近的点是左顶点,∴焦点到椭圆的最短距离为. ：也可用焦半径公式来推导:设是椭圆上的一点,则≤≤,∴≥,故焦点到椭圆的最短距离为. 教师：刚才我们求的是椭圆上的点到（右）焦点的最近距离问题，如果将右焦点改为一般点，是否还是右顶点离点最近呢?请同学们自己解答【再创造1】,允许相互探讨. 【再创造1】在椭圆上求一点,使此点到点的距离最短,并求此最短距离. 学生跃跃欲试,课堂气氛渐渐浓烈,不久后学生展示成果如下: 方法1：设，则== =≤≤ 若，即，则当时, ,此时点的坐标为. 若≥，即≥，则当时, ,此时点的坐标为. 方法2：设，则= =≤≤ 若，即，则当时, ,此时点的坐标为. 若≥1，即≥，则当时, ,此时点的坐标为. 教师：很好,看来同学们基础知识掌握扎实，解题方法较灵活，而且能自觉运用分类讨论的数学思想.那么我们能不能从中推出更一般的结论呢? 得到老师的鼓励后,学生们又愉快地投入到命题的推广之中. 【再创造2】在椭圆上求一点,使此点到点的距离最短,并求此最短距离. 方法同上，可得如下结论： 当时, ,此时点的坐标为. 当≥时, ,此时点的坐标为,即椭圆右顶点. 图2教师：对上面的结论,同学们要引起重视.现在若把点改为轴正半轴上的一点如图2,则的最小值是多少?点在什么位置?(结合图形学生容易得出,上顶点离点最近.) 那么的最大值又是多少?点又在什么位置呢?请同学们猜想并解答. 图2 【再创造3】在椭圆上求一点,使此点到点的距离最远,并求此最远距离. 学生的兴趣又一次被调动起来,并激起了强烈的创造欲,有些学生猜想是下顶点离点最远,但马上又有反驳的声音,并给出了如下解法. 解：设，则，∴= -==≤≤ 若，即，则当时, ,此时点的坐标为. 若≥，即≥，则当时, ,此时点的坐标为,即椭圆的下顶点. 上面我们从椭圆到其焦点的最短距离的探求,通过“再创造”引申推广为到其对称轴上一个动点的最短（或最远）距离的探求，还获得了两个重要的结论,不但培养了学生思维的深刻性和灵活性，同时也使学生能“运动”地看待数学问题，数学探究能力也在“再创造”中得到提高. 3.合作交流，自主编题，挖掘“再创造”的教学价值 在教学过程中，善于引导学生变换习题的形式，这只是学生“再创造”学习的初级阶段，教师应该创设情境，让学生自由发挥，自行提出问题，自行编题，自行解答，让“再创造”学习进一步深化.据此笔者要求学生借题发挥,把原题进一步拓展,自行改编并给予解答. 学生们兴趣盎然,创造欲得到进一步的激发,学习气氛进入了高潮,他们互相合作、交流和探讨, 不久之后便有了不同程度的成果如下： 【再创造4】设是椭圆上的动点, 是长轴上的定点,且的最小值为1,求的值. 解：∵