中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(7)直径在腰上.docVIP

圆压轴题八大模型题（七） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型7 直径在腰上 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E. 求证：BD＝DC； 求证：DE为⊙O的切线； 求证：CE＝EF. 若AF＝7，BC＝6，求DE. 【分析】(1)连结AD,由腰三角形三线合一证之； 图7-1（2）连结OD,点D 图7-1 由中位线定理得OD∥AC,∴∠ODE＝∠AED＝90°得证； （3）如图a，连结DF，有∠DFC＝∠B＝∠C, ∴DF＝DC,又DE⊥FC,得CE＝EF. （4）由∠C＝∠B＝∠DFC得△DFC∽△ABC， ∴， 又BD＝CD＝3，设CF＝m，则CA＝m＋7， ∴,解得m1＝2,m2＝－9（舍去）， 图a∴CE＝m＝1， 图a Rt△DEC中，DE＝＝2 【典例】 （2018·湖北孝感）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G. （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）已知BD＝2，CF＝2，求AE和BG的长. 图7-1（备用图）【分析】 图7-1 （备用图） （1）由AD是等腰△ABC的三线合一，点D是BC中点，点O是AB中点，OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，得∠ODG＝∠AFG＝90°证得；（2）由BD＝CD＝2，CF＝2得DF＝4，连结BE，由中位线定理得BE＝8，CE＝4，由△DFC∽△ABD得AB＝10，∴AE＝6，由BE∥GF得BG＝. 解：（1）连接OD，AD，∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD∥AC， ∵DG⊥AC，∴OD⊥FG， 图a∴直线FG与⊙O 图a （2）连接BE．∵BD＝2，∴CD＝BD＝2， ∵CF＝2，∴DF＝＝4，∴BE＝2DF＝8，∵cos∠C＝cos∠ABC， ∴，∴∴AB＝10 ∴AE＝＝6 ∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥GF，∴△AEB∽△AFG ∴，∴ ∴BG＝ 【点拨】 构造等腰三角形的三线合一，同时也构造了直径所对的圆周角是直角，借三线合一、中位线的知识证明切线，联系锐角三角函数，勾股定理，并运用圆内接四边形的外角等于内对角，三线合一找边等角等是关键。 【变式运用】 1．（2016·四川乐山）如图13，在中，,以边为直径作⊙交边于点,过点作于点，、的延长线交于点. （1）求证：是⊙的切线； （2）若,且,求⊙的半径与线段的长. （1）证明：如图2所示，连结， ∵，∴. ∵，∴. ∴，∴∥. 图7-2∵，∴. 图7-2 ∴是⊙的切线. （2）在和中， ∵，∴ . 设，则. ∴，. ∵，∴. 图b∴，解得＝， 图b ∴⊙的半径长为 ，＝. 2. (2016·贵州毕节)如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD＝CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD＝2∠ABD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若∠A＝60°，DF＝，求⊙O的直径BC的长． 图7-3 图7-3 证明：(1)∵CB＝CD ∴∠CBD＝∠CDB ，又∵∠CEB＝90° ∴∠CBD＋∠BCE＝∠CDE＋∠DCE ∴∠BCE＝∠DCE且∠BCD＝2∠ABD ∴∠ABD＝∠BCE ∴∠CBD＋∠ABD＝∠CBD＋∠BCE＝90° ∴CB⊥AB垂足为B 又∵CB为直径 ∴AB是⊙O的切线. ∵∠A＝60°，DF＝ ∴在Rt△AFD中得出AF＝1 在Rt△BFD中得出DF＝3 ∵∠ADF＝∠ACB ， ∠A＝∠A ∴△ADF∽△ACB ∴ 即 解得：CB＝4 3. （2018·四川攀枝花）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）求证：∠EDF＝∠DAC． （1）解： 连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°． ∵DF⊥AC， 图7-4∴∠DFC＝90°．∵∠FDC＝15°， 图7-4 ∴∠C＝75°．∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝30°， ∴OM＝OA＝＝， AM＝OM＝． 图c∵OA＝OE，O