复变函数_第2讲.pptVIP

* (3.3.1)说明, 如果将C及C1-看成一条复合闭路G, 其正向为:沿C逆时针, 沿C1-顺时针, 则 (3.3.2)说明, 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点. 这一重要事实, 称为 闭路变形原理 * D 变形过程中不能够经过f(z)不解析的点 * 定理(复合闭路定理) 设C为多连通域D内的一条简单闭曲线, C1,C2,...,Cn是在C内部的简单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ..., Cn为边界的区域全含于D. 如果f(z)在D内解析, 则 G为由C及Ck(k=1,2,...,n)所组成的复合闭路(C按顺时针, Ck按逆时针 * D C C1 C2 C3 * 例如 从本章§1的例2知: 当C为以z0为中心的正向圆周时, * [解] 函数 在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的. 由于G 是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线, 因此, 它也包含这两个奇点. 在G 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2, C1只包含奇点z=0, C2只包含奇点z=1. 例 计算 的值, G为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线. * 则根据复合闭路定理的i), 可得 x y O 1 G C1 C2 * * 作业 第三章习题 第99页开始 第1题 第6题 第1),2),3),4),5)小题 知识回顾Knowledge Review * 复变函数第6讲 本文件可从网址 上下载 (单击ppt讲义后选择‘复变函数子目录) * 例1 设一平面流速场的复势为f(z)=az(a0为实常数), 试求该场的速度, 流函数和势函数. * 流 线 等势线 O x y * 例2 由场论的观点, 流速场中散度div v ? 0的点, 统称为源点(有时称使div v 0 的点为源点, 而使div v 0的点为洞). 试求由单个源点所形成的定常流速场的复势, 并画出流动图象.[解] 不妨设流速场v内只有一个位于坐标原点的源点, 而其他各点无源无旋, 在无穷远处保持静止状态. 由该场的对称性容易看出, 场内某一点z?0处的流速具有形式 v=g(r)r0,其中r=|z|, r0是指向点z的向径上的单位向量, 可用复数表示为 , g(r)是一待定函数. * 由于流体的不可压缩性, 流体在任一以原点为中心的圆环域r1|z|r2内不可能积蓄, 所以流过圆周|z|=r1与|z|=r2的流量应相等, 故流过圆周的流量为 因此, 它是一个与r无关的常数, 称为源点的强度. 由此得 * 而流速可表示为 显然, 它符合在无穷远处保持静止状态的要求. 由(2.4.6)式可知, 复势函数f(z)的导数为 则 其中c=c1+ic2为复常数. * 该场的流动图像如图2.4和2.5所示(实线表示流线, 虚线表示等势线. c=c1+ic2为复常数. 将实部与虚部分开, 就分别得到势函数和流函数为 * 图2.4 x y O (N0) * 图2.5 x y O (N0) * 第三章 复变函数的积分 §1 复变函数积分的概念 * 1. 积分的定义 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线. 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 则将C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 设曲线C的两个端点为A与B, 如果将A到B的方向作为C的正方向, 则从B到A的方向就是C的负方向, 并记作C-. 常将两个端点中一个作为起点, 另一个作为终点, 则正方向规定为起点至终点的方向. 而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时, 邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方. * 定义 设函数w=f(z)定义在区域D内, C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 把曲线C任意分成n个弧段, 设分点为 A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=B A z1 z1 z2 z2 z3 z3 ... zk-1 zk zk Dzk B x y O * 在每个弧段zk-1,zk(k=1,2,...,n)上任意取一点?k, 并作和式 * 容易看出, 当C是x轴上的区间a?x?b, 而f(z)=u(x)时, 这个积分定义就是一元实函数定积分的定义. * 2,积分存在的条件及计算法 设光滑曲线C由参数方程 z=z(t)=x(t)+iy(t), a?t?b (3.1.2)给出, 正方向为参数增加的方向, 参数a及b对应于起点A及终点B, 并且z(t)?0, atb.如果f(z)=