复变函数与积分变换(刘建亚版).pdf

§§4.4 洛朗洛朗(Laurent)级数级数 §§ 洛朗洛朗 级数级数 0. 洛朗级数的概念洛朗级数的概念 洛朗级数的概念洛朗级数的概念 1. 1. 洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理 洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理 2. 洛朗级数展开法及其应用洛朗级数展开法及其应用 洛朗级数展开法及其应用洛朗级数展开法及其应用 本节将讨论在以本节将讨论在以z 为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析 本节将讨论在以本节将讨论在以 0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解。它是后面将要研究的解 的函数的级数表示法的函数的级数表示法。。它是后面将要研究的解它是后面将要研究的解 析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数 析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数 和计算留数的基础和计算留数的基础和计算留数的基础和计算留数的基础 。。。。 和计算留数的基础和计算留数的基础和计算留数的基础和计算留数的基础 。。。。 0.Laurent 级数的概念级数的概念 级数的概念级数的概念 如果函数如果函数f (z)在在z 点解析点解析, 则在则在z 的某邻域内的某邻域内, 可可 如果函数如果函数 在在 点解析点解析 则在则在 的某邻域内的某邻域内 可可 0 0 展开为展开为Taylor级数级数, 其各项由其各项由z-z 的非负幂组成的非负幂组成. 如果如果 展开为展开为 级数级数 其各项由其各项由 0 的非负幂组成的非负幂组成 如果如果 RR zz −−−− zz RR −−−− 内解析内解析内解析内解析, , 则则则则f f ((zz))在这在这在这在这 f f ((zz))在圆环域在圆环域在圆环域在圆环域 内解析内解析内解析内解析 则则则则 在这在这在这在这 在圆环域在圆环域在圆环域在圆环域 11 00 22 个圆环域内不一定都能展开为个圆环域内不一定都能展开为z-z 的幂级数的幂级数. 个圆环域内不一定都能展开为个圆环域内不一定都能展开为 0 的幂级数的幂级数 本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数, 本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数 即即Laurent级数级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数它将在后面讨论孤立奇点与留数 即即 级数级数 它将在后面讨论孤立奇点与留数它将在后面讨论孤立奇点与留数 及及Z变换理论中起重要作用变换理论中起重要作用. 及及 变换理论中起重要作用变换理论中起重要作用 这种双边幂级数的形式为这种双边幂级数的形式为 这种双边幂级数的形式为这种双边幂级数的形式为 ∞∞ ∞∞ n c (z −− z ) .