苏教版理2014届高三必备数学大一轮复习讲义第9到14章配套备课资源配套课件导学案题库131份打包【苏教版（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】第13章 学案75.docVIP

学案75　不等式选讲 (二)不等式的证明 导学目标： 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.2.会用比较法、综合法、分析法、数学归纳法证明比较简单的不等式． 自主梳理 1．证明不等式的常用方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是____与0比较大小或____与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或________，经过推理论证，最终指导出所要证明的不等式成立． (3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________条件，到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式的一边适当地________或________以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立．这种方法 称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． (6)数学归纳法 与自然数有关的不等式可考虑用数学归纳法证明． 自我检测 1．已知M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，则M，N的大小关系为________． 2．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若xy，则实数a，b应满足的条件为______________ 3．若a0，b0，给出下列四个不等式： ①a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2)；②(a＋b)(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))≥4；③eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b；④a＋eq \f(1,a＋4)≥－2. 其中正确的序号为______________． 4．用数学归纳法证明(1＋eq \f(1,3))(1＋eq \f(1,5))(1＋eq \f(1,7))…(1＋eq \f(1,2k－1))eq \f(\r(2k＋1),2)(k1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上________．这个乘上去的代数式共有因子的个数是________． 5．用数学归纳法证明eq \f(an＋bn,2)≥(eq \f(a＋b,2))n(a，b是非负实数，n∈N)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是______________． 探究点一　比较法证明不等式 例1　已知a0，b0，求证：eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))≥eq \r(a)＋eq \r(b). 变式迁移1　(2011·福建)设不等式|2x－1|1的解集为M. ①求集合M； ②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． 探究点二　用综合法证明不等式 例2　设a、b、c均为正数，求证： eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(1,2c)≥eq \f(1,b＋c)＋eq \f(1,c＋a)＋eq \f(1,a＋b). 变式迁移2　设x是正实数，求证： (x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3. 探究点三　用分析法证明不等式 例3　已知ab0，求证：eq \f(?a－b?2,8a)eq \f(a＋b,2)－eq \r(ab)eq \f(?a－b?2,8b). 变式迁移3　已知a0，求证： eq \r(a2＋\f(1,a2))－eq \r(2)≥a＋eq \f(1,a)－2. 探究点四　数学归纳法 例4　用数学归纳法证明： eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)eq \f(n－2,2)(n≥2)． 变式迁移4　用数学归纳法证明eq \r(n2＋n)n＋1(n∈N*) 转化与化归思想的应用 例　(10分)已知f(x)＝x2＋px＋q.求证： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 (2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于eq \f(1,2). 多角度审题　已知f(x)，要证f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，只需化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明．求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于eq \f(1,2)包括： |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一个大于等于eq \f(1,2)，其余两个小于eq \f(1,2)；三个中有2个大