苏教版理2014届高三必备数学大一轮复习讲义第9到14章配套备课资源配套课件导学案题库131份打包【苏教版（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版题库】14.1 几何证明选讲.docVIP

14.1 几何证明选讲 解答题 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D，求AP·AD的值. 解析：∵∠APC＋∠ABC＝180°，∠ACD＋∠ACB＝180°， 又AB＝AC＝3， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠APC＝∠ACD. 又∠CAP＝∠DAC， ∴△APC∽△ACD. ∴eq \f(AP,AC)＝eq \f(AC,AD)，AP·AD＝AC2＝9. 2．自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，求∠MPB的大小． 证明　因为MA为圆O的切线， 所以MA2＝MB·MC. 又M为PA的中点， 所以MP2＝MB·MC. 因为∠BMP＝∠PMC， 所△BMP∽△PMC. 于是∠MPB＝∠MCP.在△MCP中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°， 得∠MPB＝20°. 3．如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E，求证：OE＝eq \f(1,2)CD. 证明　作直径AF，连接BF，CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°. 又OE⊥AB，O为AF的中点， 则OE＝eq \f(1,2)BF.因为AC⊥BD， 所以∠DBC＋∠ACB＝90°. 又因为AF为直径， 所以∠BAF＋∠BFA＝90°. 因为∠AFB＝∠ACB，所以∠DBC＝∠BAF， 即有CD＝BF.从而得OE＝eq \f(1,2)CD. 4．如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4 eq \r(3)，求∠EFD的度数． 解析：由切割线定理得PD2＝PE·PF?PE＝eq \f(PD2,PF)＝eq \f(16×3,12)＝4?EF＝8，OD＝4. ∵OD⊥PD，OD＝eq \f(1,2)PO，∴∠P＝30°. ∵∠POD＝60°，∠EFD＝30°. 5．如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过点A作AP⊥OM于点P. (1)求证：OM·OP＝OA2； (2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于点B，过点B的切线交直线ON于点K，求证：∠OKM＝90°. 证明　(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM. 又AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理，得OA2＝OM·OP. (2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK.又OB＝OA， 所以OP·OM＝ON·OK，即eq \f(ON,OP)＝eq \f(OM,OK)，又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK， 故∠OKM＝∠OPN＝90°. 6．如图，AB为圆O的切线，A为切点，过线段AB上一点C作圆O的割线CED(点E在点C、D之间)，若∠ABE＝∠BDE，求证：C为线段AB的中点． 证明　在△BCE和△DCB中， 因为∠BCE＝∠DCB，∠CBE＝∠CDB， 所以△BCE∽△DCB. 所以eq \f(BC,DC)＝eq \f(EC,BC)，即BC2＝EC·DC. 因为直线AB、直线CED分别为⊙O的切线和割线， 所以由切割线定理可知，CA2＝CE·CD. 所以BC2＝CA2. 所以BC＝CA，即C为线段AB的中点． 7．如图，已知圆上的弧Aeq \x\to(C)＝Beq \x\to(D)，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD. 证明　(1)因为Aeq \x\to(C)＝Beq \x\to(D)，所以∠BCD＝∠ABC. 又因为EC与圆切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故eq \f(BC,BE)＝eq \f(CD,BC)，即BC2＝BE·CD. 8．过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，证明：eq \f(AT2,AN2)＝eq \f(PT·PS,NT·NS). 证明　AT是圆O的切线，∠ATP＝∠ANT， 又∠TAP＝∠NAT，所以△ATP∽△ANT. 所以eq \f(AT,AN)＝eq \f(PT,TN).同理eq \f(AS,AN)＝eq \f(PS,NS). 两式相乘eq \f(AT·AS,AN2)＝eq \f(PT·PS,NT·NS). 因为AT＝AS，所以eq \f(AT2,AN2)＝eq \f(PT·PS,NT·NS).