第六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试(1995年).docVIP

第六届“希望杯”全国数学邀请赛 初二第2试 一、选择题： 1.设是方程的一个不为的根，则（ ） A．；B．；C．；D．； 2．设是一个满足下列条件的最大的正整数，使得用除的余数是；用除的余数是；用除的余数是，则属于集合（ ） A.；B.；C.；D.； 3．某位同学在代数变形中，得到下列四个式子： （1）；（2）当时，分式的值均为； （3）分解因式：； (4)99972=(99972-32)+9=(9997+3)(9997-3)+9 其中正确的个数是（ ） A．个；B．个；C．个；D．个； 4．六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出五队已分别比赛了场球，由此可知，还没有与队比赛的球队是（ ） A．队；B．队；C．队；D．队； 5．如图31，已知等边的周长为是边的中线，为延长线上一点，，那么的周长是（ ） A.；B.；C.；D.； 6．如图32，在中，是的外角平分线，是上异于的任意一点，设，则与的大小关系是（ ） A．；；C．；D．或； 7．两个全等的直角三角形(不等腰)纸片，可以拼成个不同形状的四边形，则的值为（ ） A．；B．；C．；D．； 8．四边形的四条边长分别是，其中为对边，且满足，则这个四边形一定是（ ） A．两组角分别相等的四边形；B．平行四边形； C．对角线互相垂直的四边形；D．对角线长相等的四边形； 9．已知为三个连续奇数，且它们均为质数，那么符合条件的三数组有（ ） A．组；B．组；C．组；D．多于组； 10.在边长为的正方形内有任意个点(包括落在四条边上),将其中任意两点与正方形中心连结成三角形，则其中至少有一个三角形的面积满足（ ） A.；B.；C.；D.； 二、填空题 1.计算：________； 2.直角三角形的周长是，斜边的中线长为，则它的面积为________； 3．若是多项式的一个因式，且，则分式 的值为________； 4.设表示不大于的最大整数，如， 则________； 5．如图33，在菱形中，，则的大小是________； 6．若的三条边满足关系式：，则的形状是________； 7．若不等式的所有正整数解的和是，则的取值范围是________； 8.如图34，中，为上异于的一点，比较与的大小，则（“”，“”或“”）； 9．方程的正整数解共有________组； 10．设是不大于的自然数，除以的余数记为除以的余数记为，当时，的最值是________； 三、解答题 1．（1）已知为三个整数，且，三个数中的每一数均为其它两数的乘积，求所有满足条件的三数组； （2）如果为个整数，且，六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组共有多少组？请说明理由； 2．一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为的风景点(如图35)，现要开设一些公共汽车线路，满足以下条件： ()由每个风景点可不换车到达其它任一风景点； ()每条汽车线路只连结个风景点； ()任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点； （1）该旅游区应开设几条公共汽车线路？ （2）若风景点，在一条线路上，则该公共汽车线路写成，试写出该旅游区完整的公共汽车线路图； 答案·提示 一、选择题 提示： 2．据题意，a可整除60，150，180．故a是60，150，180的最大公约数，a=30，选(D)． 3．显然①式不成立；在②式中，当x=-2时，分母为0，故②式不成立；当x=0时，③式不成立；只有④式成立．故选(A)． 4．每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A队赛过，E队仅赛一场(即与A队赛过)，所以E队还没有与B队赛过．选(C)． 5．△ABC的周长为6，∴AB=BC=AC=2，DC=CE=1，又∠ACB=∠CDE+∠CED ∴∠CED=30°，△BDE为等腰三解形,DE=BD= 6．如图36，在BA的延长线上取AF=AC，连接PF，在△APC和△APF中，AC=AF， ∠CAP=∠FAP，AP=AP． ∴△APC≌△APF，PC=PF ∴m+n=BP+PC=BP+PF＞BF =BA+AF=BA+AC=c+b．故选(A)． 7．如图37，可拼成4个不同的四边形，故选(B)． 8．由已知得(a-b)2+(c-d)2=0.∴a=b，c=d．如图38，四边形是由两个同底等腰三角形拼接而成，故两条对角线互相垂直，故(C)． 9．3，5，7是三个连续奇数，且均为质数，∴3，5，7为符合条件的三数组，若a＞3且a为质数，则a可分为被3除余1或2的两类． 若a=3m+1，m为自然数，则b=a+2=3m+3为合数． 若a=3m+2，m为自然数，则c=a+4=3m+6也是合数，故当a