高校(理工类)数学迭代法求方程根教学(课堂讲义).pptVIP

§2.3 迭代法求方程根 迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。 主要内容： 1、迭代法原理 2、迭代的收敛性 一、迭代法原理 f (x) = 0 x = g (x) 等价变换 f (x) 的根 g(x) 的不动点 思路 从一个初值 x0 出发,计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, xk+1 = g(xk), … 若{ xk} 收敛，即存在 x* 使得 ，只要g 连续，则 ，也就是 x* = g(x* )，即x* 是 g 的根，也就是f 的根。若{ xk}发散，则迭代 法失败。 迭代法原理 [例2-3-1] 求方程 f(x0)=x3–x–1=0 （2.3.1） 在x=1.5附近的一个根。 [解] 将方程（2.3.1）改写成下列形式 （2.3.2） 用所给的初始近似x0=1.5代入(2.3.2)的右端，得到 计算结果说明，x0并不满足方程。如果改用x1作为近似值代入(2.3.2)的右端，又得： [例2-3-1] 由于x2与x1仍有偏差，我们再取x2作为近似值，并重复这个步骤。如此续下去，这种逐步校正的过程称作迭代过程，这里迭代公式： （2.3.3） 表2-3记录了各步迭代的结果。我们看到，如果仅取六位数字，那么结果x7与x8完全相同，这时可认为x7实际上已满足方程(2.3.2)，从而得到所求的根为： x*=1.32472 [例2-3-1] 精确到小数点后五位 迭代法的原理 对于一般形式的方程f(x)=0，我们先设法将它化为下列形式： x=g(x) （2.3.4） 方程(2.3.4)的右端含有未知的x，因此称之为隐式的。求根的困难正是在于方程(2.3.4)具有隐式的形式。 如果给出根的某个近似值xk，将它代入(2.3.4)的右端，则(2.3.4)式立即变成显式的： xk+1=g(xk) （2.3.5） 迭代法原理 这样，从给定的初始近似值x0出发，按显式公式(2.3.5)可以得到一个数列 x0, x1, x2, …, xk, … 如果这个数列有极限，则称迭代格式(2.3.5)是收敛的，这时数列xk的极限 就是方程x=g(x) 的根。 迭代法原理 xk+1=g(xk)称为迭代格式，g(x)称为迭代函数；x0称为迭代初值，数列{xk}称为迭代序列。 迭代法思想：将隐式方程式 f(x)=0的求根问题归结为计算一组显式xk+1 = g(xk) ，也就是说，迭代过程是一个逐步显式化的过程。 迭代法：是一种逐次逼近的方法。它是用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确，最后得到满足精度要求的结果。 迭代过程 可以用几何图象来表明迭代过程。 方程x=g(x)的求根问题在几何上就是要确定曲线y=g(x)与直线y=x的交点P*（如图）。 对于x*的某个初始近似x0，在曲线y=g(x)上作出以x0为横坐标的一点P0，点P0的纵坐标为g(x0)=x1。 迭代过程 过P0引平行于x轴的直线，设交直线y=x于点Q1。过Q1再作平行于y轴的直线，它与曲线y=g(x)的交点记作P1。 容易看出，近似值x1=g(x0)即为点P1的横坐标。按图中箭头所示的路径继续作下去，在曲线y=g(x)上得到一个点列P1,P2,…，其横坐标分别等于依格式xk+1=g(xk)求得的近似值x1, x2, …。如果迭代收敛，则点列P1, P2,…将越来越逼近所求的交点P*。 简单迭代法的几何意义： 把求方程f(x)=0的根的问题，转化为求y=g(x)和y=x两条曲线的交点问题，交点的横坐标就是方程的x*。 迭代法的几何意义 迭代法的几何意义 x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* y= g(x) y= g(x) y= g(x) y= g(x) x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? 迭代过程 然而迭代法的效果并不是总能令人满意的。 [例2-3-1a] 求方程 f(x0)=x3–x–1=0 （2.3.1） 在x=1.5附近的一个根。 [解] 将方程（2.3.1）改写成另一种等价形式： x=x3–1 建立迭代格式： [例2-3-1a] 迭代初值仍取x0=1.5，则有： x1=2.375 x2=12.3976 继续迭代下去已经没有必要，因为结果显