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数学建模 –图论模型(2) 4．最小生成树及算法 定理2 设G是具有n个顶点的图，则下述命题等价： 2）图的生成树 （II）找图中生成树的方法 A 避圈法 B 破圈法 B 破圈法 3) 最小生成树与算法 A Kruskal算法（或避圈法） B破圈法 5. 旅行售货员问题 旅行售货员问题或货郎担问题. 一个可行的办法 : 例对下图16的K6,用二边逐次修正法求较优H圈. 6. 中国邮递员问题 七桥问题 Seven Bridges Problem 18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛以及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？ 欧拉于1736年研究并解决了此问题， 他用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。之后他发表一篇论文，证明了上述走法是不可能的。并且给出了连通网络可一笔画的充要条件这一著名的结论。 一笔画问题 一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸，各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。 想一想： 一笔画问题 凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多有两个。始点与终点重合的一笔画问题，奇点的个数必是0。 在一个多重边的连通图中，从某个顶点出发，经过不同的线路，又回到原出发点，这样的线路必是尤拉图，即能一笔画出的图必是尤拉图。 中国邮递员问题 一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街道，投完后回到邮局，应该怎样走，使所走的路程最短？ 这个问题是我国管梅谷同志1962年首先求出来的，因此在国际上通称为中国邮递员问题。在物流活动中，经常会遇到这样的问题，如：每天在大街小巷行驶的垃圾车、洒水车、各售货点的送货车等都需要解决一个行走的最短路程问题。 这个问题就是一笔画问题。 解决这样的问题，可以采用奇偶点图上作业法：如果在配送范围内，街道中没有奇点，那么他就可以从配送中心出发，走过每条街道一次，且仅一次，最后回到配送中心，这样他所走的路程也就是最短的路程。 对于有奇点的街道图，该怎么办呢？ 这时就必须在每条街道上重复走一次或多次。 如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次，我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条边的权和原来的权相等，并把所增加的边，称为重复边，于是这条路线就是相应的新图中的尤拉图。 原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中，要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且重复边的总权为最小。 我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案为最优方案。 现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？ 车辆从某配送中心（v1）出发，给街道边上的超市（v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9）送货，如图4-8所示。 显然街区图上有奇点（4个），不满足“一笔画”的条件，则必然有一些街道要被重复走过（添加重复边）才能回到原出发点。此时得到的图就无奇点。 那么该怎样添加重复边，使得图中全为偶点呢？ 其实可以通过连接匹配的奇点得到！ 第一步：确定初始可行方案 这样就得到初始方案.在这个图中，没有奇点，故称它为欧拉图。对应于这个可行方案，重复边总权为51。 想一想 这样的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？ 第二步：调整可行方案 最优方案必须满足以下（1）（2）两个条件： （1）在最优方案中,图的每一边最多有一条重复边 （2）在最优方案中,图中每个圈上的重复边的总权不大于该圈总权的一半。 为什么? 第二步：调整可行方案 首先，去掉多余的重复边，使图中每一边最多有一条重复边。见图3 第二步：调整可行方案 其次，如果把图中某个圈上的重复边去掉，而给原来没有重复边的边上加上重复边，图中仍然没有奇点。因而如果在某个圈上重复边的总权数大于这个圈的总权数的一半，像上面所说的那样做一次调整，将会得到一个总权下降的可行方案。 第二步：调整可行方案 在图4-10中，圈（v2,v3,v4, v9,v2）的总长度为24，但圈上重复边总权为14，大于该圈总长度的一半，因此可以做一次调整，以[v2,v9]，[v9,v4]上的重复边代[v2,v3]，[v3,v4]上的重复边，使重复边总长度下降为17。见图4 检查图4中圈（v1,v2, v9, v6,v7, v8,v1）的总长度为24，但圈上重复边总权为13，大于该圈总长度的一半，因此可以做一次调整，使重复边总长度下降为15。见图5。 检查图5，均满足条件（1）和（2），于是得到最优方案。图5中的任一欧