《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计（教案）.docVIP

PAGE 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 7 页 向量的数乘运算及其几何意义 （人教A版 必修4） 教学分析 向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义. 向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系. 三维教学目标 知识与技能： 通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律. 过程与方法：通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行. 情感态度与价值观： 通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用. 教学重难点 教学重点： 1．实数与向量积的意义及其几何意义； 2．实数与向量积的运算律； 3．两个向量共线的等价条件及其运算. 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用. 课时安排：1课时. 教具： 三角板、投影仪、多媒体辅助教学. 教学流程 课堂小结向量数乘运算律及其几何意义 课堂小结 向量数乘运算律及其几何意义 例1及巩固练习 探究：观察、发现和类比 向量数乘运算的定义及其几何意义 实例引入 口答题 共线向量定理 作业布置 例2、例3讲解 课堂作业 教学过程 导入新课： 一条细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒钟的位移对应的向量为，那么它在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是吗？若蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是吗?你能用图形表示吗？ 学生活动：独立思考. 教师行为：提问、引导学生作答. 设计意图：向量具有丰富的实际背景和几何背景，并且兼具“数”与“形”的特点，它在物理和几何中具有广泛的应用，故本节通过位移的实际背景引入新课. 推进新课： 探究：已知非零向量，试作出和，你能说明它的几何意义吗？ 文字 文字 通过学生画图得到. . 的方向与的方向相同，且；的方向与的方向相反，且. 学生活动：独立观察、思考、总结. 教师行为：提问、引导学生. 设计意图：认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过学生自己作出向量和，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识做好铺垫. 问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？ 从而推广到一般的向量数乘的定义. （板书）我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： （1）； （2）当时，的方向与一致；当时，的方向与的方向相反.由（1）可知当时，. 设计意图：通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法. 问题2：你能说明它的几何意义吗？ 学生活动：小组合作交流，学生单独作答. 设计意图：从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象.通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量沿的方向或的反方向放大倍或缩小倍. 口答：C在线段AB上，且，则 ； . 学生活动：独立思考并踊跃回答. 教师行为：评价. 设计意图：通过简单口答题来巩固学生对向量数乘定义的理解及运用.通过活动过程的成功体验提高学生学习的积极性. 问题3：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？ （板书） （1） （2） （3） 问题4：你能解释上述运算律的几何意义吗？ （板书）特别地：， . 问题5：你能从形式上描述向量数乘运算律与思考向量线性运算与以前学习过的哪些运算相类似？