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PAGE 第三十六讲 直接证明与间接证明 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 解析:因为证明过程是“从左往右”,即由条件?结论. 故选B. 答案:B 2.已知x10,x1≠1且xn+1=eq \f(xn·(x\o\al(2,n)+3),3x\o\al(2,n)+1)(n=1,2,…),试证:“数列{xn}对任意的正整数n,都满足xnxn+1,”当此题用反证法否定结论时应为( ) A.对任意的正整数n,有xn=xn+1 B.存在正整数n,使xn≤xn+1 C.存在正整数n,使xn≥xn-1,且xn≥xn+1 D.存在正整数n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0 解析:根据全称命题的否定,是特称命题,即“数列{xn}对任意的正整数n,都满足xnxn+1”的否定为“存在正整数n,使xn≤xn+1”,故选B. 答案:B 3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( ) A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-eq \f(a4+b4,2)≤0 C.eq \f((a+b)2,2)-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 解析:因为a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0,故选D. 答案:D 4.已知a、b是非零实数,且ab,则下列不等式中成立的是( ) A.eq \f(b,a)1 B.a2b2 C.|a+b||a-b| D.eq \f(1,ab2)eq \f(1,a2b) 解析:eq \f(b,a)1?eq \f(b-a,a)0?a(a-b)0. ∵ab,∴a-b0.而a可能大于0,也可能小于0, 因此a(a-b)0不一定成立,即A不一定成立; a2b2?(a-b)(a+b)0, ∵a-b0,只有当a+b0时,a2b2才成立,故B不一定成立; |a+b||a-b|?(a+b)2(a-b)2?ab0,而ab0也有可能,故C不一定成立; 由于eq \f(1,ab2)eq \f(1,a2b)?eq \f(a-b,a2b2)0?(a-b)·a2b20. ∵a,b非零,ab,∴上式一定成立,因此只有D正确.故选D. 答案:D 5.(2009·杭州市模拟)已知函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,a,b∈(0,+∞),A=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2))),B=f(eq \r(ab)),C=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a+b))),则A、B、C的大小关系为( ) A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 解析:因为当a,b∈(0,+∞)时,eq \f(a+b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a+b),且函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,在R上为减函数,所以A≤B≤C,故选A. 答案:A 6.设0x1,则a=eq \r(2x),b=1+x,c=eq \f(1,1-x)中最大的一个是( ) A.a B.b C.c D.不能确定 解析:易得1+x2eq \r(x)eq \r(2x). ∵(1+x)(1-x)=1-x21,又0x1,即1-x0. ∴1+xeq \f(1,1-x). 答案:C 二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.否定“任何三角形的外角都至少有两个钝角”其正确的反设应是________. 解析:本题为全称命题,其否定为特称命题. 答案:存在一个三角形,它的外角至多有一个钝角 8.已知a,b是不相等的正数,x=eq \f(\r(a)+\r(b),\r(2)),y=eq \r(a+b),则x,y的大小关系是________. 解析:y2=(eq \r(a+b))2=a+b=eq \f(2(a+b),2)eq \f((\r(a)+\r(b))2,2)=x2. 答案:xy 9.已知a,b,μ∈(0,+∞)且eq \f(1,a)+eq \f(9,b)=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是________.
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