第二章(第2,3节)单自由度系统的自由振动.pptVIP

2.2 能量法 2.2 能量法 2.2 能量法 2.2 能量法 2.2 能量法 2.2 能量法 2.2 能量法 2.3 等效刚度系数 2.4 等效刚度系数 2.4 等效刚度系数 2.4 等效刚度系数 2.3 等效刚度系数 2.3 等效刚度系数 2.3 等效刚度系数 2.3 等效刚度系数 能量法求解系统的振动微分方程与固有频率 对于能量无耗散的振动系统，在自由振动时系统的机械能守恒。 (2.2-1) (2.2-2) (2.2-3) 对时间求导，得 如果取平衡位置为势能零点，由机械能守恒定律，有 化简后可得振动方程 化简后可得系统固有频率 例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1） 例2.2-1 有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体，在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图2.2-1所示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它绕平衡位置作微小摆动时的固有频率?n。 解：圆柱体在摆动时有两种运动：移动和滚动。设?坐标如图2.2-1示。 摆动时圆柱体中心C点的速度及圆柱体的角速度分别为 图 2.2-1 例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1） 系统的动能T为 若选圆柱体中心C在运动过程中的最低点为零势能点，则系统的势能为 圆柱体的势能为相对于最低位置O的重力势能。 例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1） 由式(2.2-2)，有 上式可以简化为 当圆柱体作微摆动时， ，因此系统的势能为 例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1） 故系统固有频率为 系统的固有频率也可以用Tmax=Umax来计算，设系统作自由振动时的变化规律为 则系统的最大动能、势能分别为 则得固有频率?n同前。 例题：用能量法求解系统的振动微分方程与周期（例2.2-2） 解：在杆有微小偏角?时，弹簧的伸长及锤的位移与速度可以近似的表示为a?，l?与 。故振动系统的动能与势能可以表示为 例2.2-2 细杆OA可绕水平轴O转动，如图2.2-2所示，在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程及周期。 图 2.2-2 例题：用能量法求解系统的振动微分方程与周期（例2.2-2） 代入方程(2.2-2)有 由此可得 固有频率为 周期为 ，平衡时 。) （平衡位置为零势能点, 弹簧刚度系数的定义 弹簧刚度系数就是使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。 (2.3-1) 同一弹性元件，根据所要研究振动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。 以一端固定的等直圆杆为例加以说明，如图2.3-1所示。 图 2.3-1 等直梁在不同方向的刚度 确定沿x方向的刚度时，在B处沿x方向加一垂直力F。 B点在x方向的刚度系数为 根据材料力学知，B点在x方向的位移为 图 2.3-1 等直梁在不同方向的刚度 确定沿y方向的刚度时，在B点沿y方向加一横向力P。 杆作弯曲变形，根据材料力学知，B点沿y方向的位移 B点沿y方向的刚度系数为 等直梁在不同方向的刚度 杆件作转扭，产生扭角?，根据材料力学知，B点沿x轴的扭角为 确定绕x轴的转动方向的刚度，需要在B端绕x轴转动方向加一扭矩M。 B点绕x轴转动方向的刚度系数为 螺旋弹簧在不同方向的刚度 对于螺旋弹簧，在承受轴向拉伸或压缩、扭转与弯曲变形时，刚度系数分别为 式中E为弹性模量，G为剪切模量，d、D分别 为簧丝、簧圈直径，n为弹簧有效圈数。 ●工程中用到的弹簧类型很多，计算时需要其刚度系数，一般可以根据等效刚度系数的推证方法加以推导。 串、并联弹簧的等效刚度的计算 图2.3-2(a)是两个串联弹簧，刚度系数分别为k1和k2。B点的位移及等效刚度系数为 串联弹簧的作用使系统中的弹簧刚度降低。 如果有n个弹簧串联，刚度系数分别为k1, k2, …, kn，则等效刚度系数k应满足关系式 (2.3-2) 图 2.3-2 串、并联弹簧的等效刚度的计算 图2.3-2(b)是两个并联弹簧，刚度系数分别为k1和k2。两个弹簧所受的力分别为k1xB、k2xB 并联弹簧的系统刚度是原来的弹簧刚度的总和，比原来各弹簧的刚度都要大。 如果有n个弹簧并联，其弹簧刚度系数分别为k1, k2, …, kn， 则等效刚度系数为 (2.3-3) B点的等效刚度： 根据静力平衡条件得： 图 2.3-2 串、并联弹簧举例 弹簧的并联与串联，不能