应力-应变关系课件.ppt

根据格林公式和广义胡克定律，有 对于上式，如果对切应变 γxy 求偏导数，有?? 完全各向异性材料 同理，有:剪应力? 对正应变εx求偏导数，有?? ??? 因此，C14=C41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则Cmn=Cnm 。 完全各向异性材料 21个弹性常数 具有一个弹性对称面的各向异性材料 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。 若设 yz 为弹性对称面，则 x 轴为弹性主方向。 具有一个弹性对称面的各向异性材料 　 x y z x l1=-1 m1=0 n1=0 y l2=-1 m2=0 n2=0 z l3=-1 m3=0 n3=0 将 x 轴绕动 z 轴转动 π 角度，成为新的 O xyz坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 根据弹性对称性质。关于 x 轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于 x 轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以 应力和应变关系为 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。 应力和应变关系为 要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0 13个弹性常数 具有两个弹性对称面的各向异性材料 具有两个弹性对称面的各向异性材料 相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，第三个必为弹性对称面——正交各向异性。 9个弹性常数 正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。 物理意义——物体各个方向上的弹性性质完 全相同，即物理性质的完全对称。 数学反映——应力和应变关系在所有方位不同 的坐标系中都一样。 金属材料——各向同性弹性体，是最常见的工 程材料。弹性力学主要讨论各 向同性材料。 各向同性材料 对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任意一个平面都是弹性对称面。因此 C11=C22=C33, C12=C23=C31, C44=C55=C66 于是其应力应变关系简化为 其独立的弹性常数仅为C11，C12和C44。 但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。 根据各向同性材料的弹性性质与坐标轴的任意变换方位也无关，各向同性材料广义胡克（Hooke）定理 λ、μ称为拉梅（Lame）弹性常数 体积应变 ——弹性体一点体积的改变量 引入体积应变有助于简化公式，以及解释单元体的体积的改变量。 回忆 应力表示本构方程 E 为弹性模量 G 为剪切弹性模量 v 为横向变形系数——泊松比 ——体积应力 ——体积模量 杨（杨氏弹性模量） 泊松（泊松比） 工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为 两个独立的弹性常数 实验测定： 单向拉伸实验可以测出弹性模量E 薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G 各向同性材料 主应力状态——对应的切应力分量均为零。 所有的切应变分量也为零。 所以，各向同性弹性体 应力主轴同时又是应变主轴； 应力主方向和应变主方向是重合的。 应变能 各向同性材料的应变能函数 引入各向同性材料应力-应变关系 应变表示的应变能函数 应力表示的应变能函数 泊松比 v 恒小于1，所以U0恒大于零。单位体积的应变能总是正的。 弹性体变形过程的功与能的关系 能量守恒是一个物理学重要原理； 利用能量原理可以使得问题分析简化； 能量原理的推导是多样的，本节使用热力学原理进行推导。 外力作用 ——弹性体变形 ——变形过程外力作功 ——弹性体内的能量也发生变化 西德的J.H.Argyris教授于1954–1955年间，在《Aircraft engineering》上发表了关于有限元法的能量原理的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书成为有限元法的理论基础。 能量原理为有限元法的理论基础找到了理论依据。 * § * § 高等工程力学/(一)弹性力学/(4)应力-应变关系 4 应力-应变关系 高等工程力学/(一)弹性力学/(4)应力-应变关系 高等工程力学/(一)弹性力学/(4)应力-应变关系 ? 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。 ??? 根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化