D11 4对面积曲面积分.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 最大值 定义: 设 ? 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 ? 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对? 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上对面积 函数, ? 叫做积分曲面. 则对面积的曲面积分存在. ? 对积分域的可加性. 则有 ? 线性性质. 在光滑曲面? 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. ? 积分的存在性. 若? 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ? 上连续, 存在, 且有 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 说明: 可有类似的公式. 如果曲面方程为 例1. 计算曲面积分 其中? 是球面 被平面 截出的顶部. 解: 思考: 若 ? 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, 则 例2. 计算 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示? 在平面 例3. 设 计算 解: 锥面 与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xOy 面上的 投影域为 则 思考: 若例3 中被积函数改为 计算结果如何 ? 例6. 计算 其中 ? 是球面 利用对称性可知 解: 显然球心为 半径为 利用重心公式 例7. 计算 其中 ? 是介于平面 之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 则 解: 取曲面面积元素 两片, 则计算较繁. 例8. 求椭圆柱面 位于 xOy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 ? 的侧面积 S . 解: 取 内容小结 1. 定义: 2. 计算: 设 则 (曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式 简化计算的技巧. 题2. 限中的部分, 则有( ). ( 2000 考研 ) 1. 已知曲面壳 求此曲面壳在平面 z =1以上部分? 的 的面密度 质量 M . 解: ? 在 xOy 面上的投影为 故 2. 设 ? 是四面体 面, 计算 解: 在四面体的四个面上 同上 平面方程 投影域 同上 平面方程 投影域 目录 上页 下页 返回 结束