第一节 无穷小教学课件.ppt

例11 设 证 证明 不妨设 因 于是 于是 故, 1.1.4 无穷小的统一定义 函数都可以满足不等式 对于前面的无穷小定义稍加比较就可以发现: 如果对于任意给定的正数 无论哪种情况, 所不同的是, 随自变量变化趋势的不同, 不等 式成立的范围(或空心邻域)也不同. 如果把不同情形下的无穷小统一表述为: 或 则 共有七种不同情况： 当函数定义域为正整数时， 为简单起见, 一般可以用 等 表示无穷小. 当函数定义域为实数集时， 可以取 若 记作 或 则有关于无穷小的统一定义形式： 如果把 a 的和 有关的邻域记为 定义1.4 设 在点 的某个空心邻域内有定义， 都存在点 的空心邻域 有了无穷小定义的统一形式, 我们今后讨论无 穷小或一般的极限理论时就可以重点讨论其中最具 代表性的情形 只是邻域不同而已. 其他情形则可以类似给出， 关于无穷小的概念需注意以下几个方面： 1. 无穷小是函数的自变量按照一定的变化趋势变 化时, 函数的一种特殊的变化趋势. 因此, 我们说某个函数 是无穷小时, 必须 同时指出自变量 x 的变化趋势. 例如, 2. 零 是无穷小, 但无穷小不一定等于零. 例如， 一个固定的正数无论多么小, 总存在比它更小 另外, 不能把无穷小与很小的正数相混淆. 的正数. 就不是无穷小. 3. 关于无穷小的分类. 某空心邻域 特别地, 如果当 为正无穷小; 同样地, 如果当 为负无穷小. 显然, 正、负无穷小都是非零无穷小. 并且存在点 的 例12 设 试证当 是无穷小, 但不是非零无穷小. 证 因 所以, 是无穷小. 任意给定 的空心邻域 都存在正整数n 满足 即 使得 故, 是无穷小, 但不是非零无穷小. 如果 (C 为常数), 定理1.4 ） 且 设 在点 的某空心邻域内有 定义, 则 1.1.5 无穷小的性质 定理1.5 (局部有界性) ） 证 有界. 若 因 取 有 则 在 的某个空心邻域内 则存在点 的某个空心邻域 即 在 的空心邻域内有界. 证 设 且 且 于是 即 定理1.6 有限个无穷小之和为无穷小. 则存在点 的某个空心邻域 证 例13 设 为n次多项式, 且 则 注意: 无穷多个无穷小之和不一定是无穷小. 因 可写成 所以 即 是n个无穷小之和, 定理1.7 无穷小与有界函数的乘积为无穷小. 证 设 内, 有 由定理1.3, 有 则 都是无穷小. 例如, 当 且在点 的某个空心邻域 例14 证明 证 因 不妨设 于是 又 推论1.1 有限个无穷小的乘积是无穷小. 证 由定理1.5和定理1.7, 即有推理1.1成立. 由定理1.7, 有 1.1.6 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 若 记作 或 则称 时为无穷大, 定义1.5 设 在点 的某个空心邻域内有定义， 都存在点 的空心邻域 分别称为正无穷大和负无穷大； 说明: 1. 如果把上面定义中的 分别改为 就得到 的定义, (1) 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; (2) 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; (3) 无穷大与无穷大之积仍为无穷大. 2. 由无穷大的定义容易证明： 无穷小与无穷大的关系 则当 时, 意义:有关无穷大的讨论, 都可归结为无穷小的讨论. 设 在 的某空心邻域内有定义, 使得 定理1.8 设 在点 的某个空心邻域内有 常数 定义. 如果当 时, 且存在 例15 证明 证1 不妨设 因 于是 由定理1.9, 有 例15 证明 证2 不妨设 因 于是 先证明 所以 故 例16 证明 在 内无界, 但当 不是无穷大. 证 显然 所以 在 内无界; 所以 不是无穷大. 1.1.7 本节要点 主要结论包括三个最基本的