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沪科版数学七年级下册 第六章 实 数 一、知识总结 （一）平方根与立方根 1、平方根 （1）定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二 次方根。 2）表示：非负数 a 的平方根记作± a ，读作“正负根号 a”，（ a 叫做被开方数） 3）性质：正数的平方根有两个， 且互为相反数； 0 的平方根为 0；负数的没有平方根。 4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。 Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、 开平方与平方互为逆运算。 2、算术平方根 （ 1）定义：正数 a 的正的平方根 a 叫做 a 的算术平方根， 0 的算术平方根是 0。 （ 2）性质：（1）一个数 a 的算术平方根具有 非负性 ； 即： a ≥0 恒成立 。 （2）正数的算术平方根只有 1 个，且为正数； 0 的算术平方根是 0； 负数的没有算术平方根。 3、立方根： （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三 次方根。 （2）表示： a 的立方根记作 3 a ，读作“三次根号 a”（ a 叫做被开方数， 3 叫根指数） （3）性质：正数的立方根是 1 个正数；负数的立方根是 1 个负数； 0 的立方根是 0。 （二）实数 1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数） 2、实数： 有理数和无理数统称为实数。 3、实数分类：（ 1）按定义分（略） （ 2）按正负性分（略） 4、实数与数轴上的点一一对应。 5、实数的 相反数、绝对值、倒数 ：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似） 第 1 页 共 29 页 6、实数的运算 ：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零 可以进行开平方运算， 任意一个实数可以进行开立方运算， 而且有理数的运算法则和运 算律对于实数仍然适用 。 7、实数大小 ：（ 1） 正数 0 负数； （ 2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值 小的反而大。（ 3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 实数比较大小的方法： 作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法· ····· 二、解题实用 1 、 2 1.41421 3 1.732 5 2.236 2 a 2 a a 2 a 3 a3 3 a 3 、 a 3 、 a b ab a a a b 0 b b b 三、典题练习 1、 16 的平方根是 ； 2 2 - 3 的算术平方根是 的立方根是 。 ； 2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个 有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 。 3、一个自然数的算术平方根是 x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是 。 4、下列各数中一定为正数的是 （填序号） ① x ② x 1 ③ x 2 ④ 3 x 1⑤ x 1 5、当 x-1 时， x 2 ， -x , - x 3 和 1 的大小关系 。 x 6、比较下列各组数的大小 1 2 - 3与 2 - 2 2 1 4 与 7 与 4 - 1 与 1 5 3 3 5 2 11 2 - 7 7、 7 - 2 的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。 第 2 页 共 29 页 8、已知 x 3 ， y 为 4 的平方根， xy 0 ，求 x+y 的值。 9、已知 x 3 y - 2 0 ，求 x2+y 的平方根。 10、如果一个非负数的平方根为 2a-1 和 a-5 ，则这个数是 。 11、 a 为 5 的整数部分， b 为 5 的小数部分，则 a+2b 的值为 。 12、若 2011- a a - 2012 a ，试求 a - 2011 2 的值。（提示：找出题中的隐含条件） 第 3 页 共 29 页 第七章 一元一次不等式与不等式组 一、知识总结 （一）不等式及其性质 1、不等式： 1）定义用“＜” ( 或“≤” ) ，“＞” ( 或“≥” ) 等不等号表示大小关系的式子，叫做 不等式 . 用“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 不等式的解集与不等式的解的 区别： 解集是能使不等式成立的未知数的取值范围 , 是所有解的集合 , 而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。 二者的关系是： 解集包括解 , 所有的解组成了解集。 （ 4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。 2、不等式的基本性质 性质 1：不等式的两边都加上 ( 或减去 ) 同一个整式，不等号的方向不变。 即：如