数理方程 特殊函数.pptVIP

* 解 :(1) 由拉氏变换定义有： * (2) 由拉氏变换定义有： * 同理： (3) 由拉氏变换定义有： * 例9 求下列函数的拉氏变换 解:(1)令：f(t)=tm，则f (m) (t)=m!，且： 由微分定理： * (2) 由于 由位移定理得： * (3) 由像函数微分性质 同理： * 例10 求 的逆变换 解 因为f(s)的奇点是两个极点s1=-α,s2=-β.前者是一阶极点，后者是二阶极点，所以，由展开定理： (2)、利用展开定理求拉普拉斯逆变换(重点) * (4)、简单证明题 例12、设f(t)在[0,+∞]上以T为周期，且f(t)在一个周期内分段连续，则： * 证明： 令x=t-T，则可推出： 对于 (5)、求解数理方程 * 例13 求解上半平面的狄氏问题 解 (1) 对定解问题作对应于空间变量x的傅立叶变换 变换后得关于y的常微分方程定解问题： * *中方程的通解为： 当λ0时： (2) 求像函数 (3) 求原像函数 当λ0时： 像函数为： * 由卷积定理 ： 这里： * 于是得定解为： * 例14、求解如下定解问题： 解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换 * (2)、求像函数： (3)、求原像函数： * 所以原像函数： 例15、求解如下定解问题(习题5.4第5题)： * 解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换 (2)、求像函数： * (3)、求原像函数： 由延迟定理： 得： * 所以原像函数为： * 数理方程与特殊函数 * 本次课主要内容 (一)、行波法 (二)、积分变换法 行波法与积分变换法习题课 * (一)、行波法 1、要点回顾 (1)行波法的适用范围是什么？ 答：波动方程的初值问题。 (2)行波法求解波动方程定解问题的要领是什么？ 答：引入变量替换，将方程化为变量可积的形式，从而求出其通解；用定解条件确定通解中的任意函数(或常数)，从而求出其特解。 * (3)无限长弦的自由振动问题的达朗贝尔公式是什么？公式的物理意义是什么？ 答：(a) 公式为： (b) 物理意义：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向弦的两个方向传播出去，传播速度正好是弦振动方程中的系数a。 (4)如何求解无限长弦的纯强迫振动问题和一般强迫振动问题？ * 答(a)纯强迫振动定解问题为： 求解方法：齐次化原理 (b)一般强迫振动定解问题为： * 求解方法：利用函数分解方法对定解问题进行拆分 答：(a)公式为： (5)三维自由振动的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？ (b) 物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，at为半径的球面上的初始扰动决定； 2) 当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理成立。 * 答：(a)公式为： (5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？ (b) 物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，at为半径的圆盘域上的初始扰动决定； 2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。 * 2、典型题型 (1)利用行波法求解 例1、求下面柯西问题的解： 解：特征方程为： 特征线方程为： * 令： 变换原方程化成标准型： 通解为 : 代入条件得： * 例2、求波动方程的古沙问题 * 解：方程通解为： 由(2)得： 又由(3)得： 由(4)与(5)得： * 所以： 又由(4)得： 所以： (2)半无界问题的求解 采用延拓或行波方法求解 * 例3、半无限长杆的端点受到纵向力F(t)=Asinωt的作用，求解杆的振动。 解：定解问题为： F un|x=0.YS 0 x * 解：方法1：延拓法 首先，当xat时，端点的影响没有传到，所以有： 其次，当xat时，端点的影响已经传到，所以定解问题必须考虑边界影响。将定解问题作延拓： 延拓后的定解问题的解为： * 欲使延拓后的解限制在x≥0上时为原定解问题的解，只需让延拓解满足边界条件，即： 为此：令 只要： 又令 * 得到： 所以有： 所以当xat时，解为： * 方法2：行波法求解(课后作业） (3)高维波动方程的定解问题(重点) 例4、求如下定解问题： * 分析：这是三维空间自由振动问题，所以直接代入泊松公式计算。 球坐标变换为： * 解：由泊松公式 例5、用泊松公式解如下定解问题 * 解：由二维泊松公式得： * (二)、积分变换法 1、要点回顾 (1) 什么叫积分变换？ 答：所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数f(x)，经过某种可逆的积分方式： 变成另一类B中的函数F(P)。其