高考数学母题：二项式系数和在计数中的应用.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(20-59):二项式系数和在计数中的应用(581) 1467 二项式系数和在计数中的应用 [母题]Ⅰ(20-59):(人教版《选修2-3》练习(P35)第1③题)= . [解析]:由(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn,令x=1得:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=(1+1)2=2nCn+10+Cn+11+Cn+12+…+Cn+1n+1=2n+1原式=. [点评]:在(a+b)n的展开式中,各个二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n,该结论以及等式Cn0+Cn1a+Cn2a2+…+Cnnan =(1+a)n,在计数问题中有重要应用. [子题](1):(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)集合A中的元素均为正整数,具有性质:若a∈A,则12-a∈A.这样的集合共有 个. [解析]:从集合A的性质可得,A必然是六个集合{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6},中某几个的并集,因此符合要求的A共有C61+C62+…+C66=26-1=63个. 注:由二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2nCn1+Cn2+…+Cnn=2n-1,Cn1+Cn2+…+Cn-1n-1=2n-2. [子题](2):(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)设S是集合{1,2,…,15}的一个非空子集,若正整数n满足:n∈S,n+|S|∈S,则称n是子集S的模范数,这里|S|表示集合S中元素的个数.对集合{1,2,…,15}的所有非空子集S,模范数的个数之和为 . [解析]:若n是S的一个模范数,S含有k个元素,则n∈S,n+|S|∈Sk≥2;又k≤15-n.S的其他k-2个元素有C13k-2种取法,故n为模范数时,共有C130+C131+…+C1313-n个.当n=1,2,…,13,模范数的总数为A=13C130+12C131+…+C1312,故2A=13(C130+C131 +…+C1313)=13×213.所以对集合{1,2,…,15}的所有非空子集S,模范数的个数之和为13×212. 注:由二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2nCn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn-1=n2n-1. [子题](3):(2006年全国高中数学联赛试题)数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数 eq \o(\s\up6(－),2a1a2…a2006)的个数为( ) (A)(102006+82006) (B)(102006-82006) (C)102006+82006 (D)102006-82006 [解析]:①数码a1,a2,a3,…,a2006中有1个9,安排数字9有C20061种方法,其余每个数位上均有9种选法(不含数字9),2005个数位有92005种排法,故这样的数有C2006192005;②数码a1,a2,a3,…,a2006中有3个9,安排数字9有C20063种方法,其余每个数位上均有9种选法(不含数字9),2003个数位有92003种排法,故这样的数有C2006392003;③数码a1,a2,a3,…,a2006中有5个9,安排数字9有C20065种方法,其余每个数位上均有9种选法(不含数字9),2001个数位有92001种排法,故这样的数有C2006592001;….综上,这样的数共有S=C2006192005+C2006392003+C2006592001+…+C200620059.又因(9+1)2006=C2006092006+C2006192005+C2006292004+…+C200620059+ (9-1)2006=C2006092006-C2006192005+C2006292004-…-C200620059+两式相减得:102006-82006=2(C2006192005+C2006392003+C2006592001+…+C200620059)= 2SS=(102006-82006). 注:由Cn0+Cn1a+Cn2a2+…+Cnna