高考数学母题：分段函数的单调性及其应用.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 分段函数的单调性及其应 由分段函数的单调性生成的三类问题 自2006年北京高考中出现分段函数单调性的试题后,分段函数的单调性历经演变生成三类问题出现于高考中,形成为一条亮丽的风景线. [母题结构]:己知函数f(x)=,则:①函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增函数M(x)在区间[a,+∞)上单调递增,函数m(x)在区间(-∞,a)上单调递增,且M(a)≥m(a);②函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减函数M(x)在区间[a,+∞)上单调递减,函数m(x)在区间(-∞,a)上单调递减,且M(a)≤m(a). [解题程序]:由函数单调性定义,不难知道以上结论的正确性,分段函数单调性的特点是分段函数的“间断点”,解决分段函数单调性的关键点是抓住分段函数的“间断点”. 1.由单调性求参数范围 子题类型Ⅰ:(2006年北京高考理科试题)己知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( ) (A)(0,1) (B)(0,) (C)[,) (D)[,1) [解析]:令m(x)=(2a-1)x+4a(x1),M(x)=logax(x≥1),由f(x)是(-∞,+∞)上的减函数m(x)在 (-∞,1)上单调递减,M(x)在[1,+∞)上单调递减,且m(1)≥M(1)3a-10,0a1,且(3a-1)+4a≥ loga1a∈[,).故选(C). [点评]:本题是关于分段函数单调性的第一题,自此题后,同类问题的高频出现,显示了该题是此类问题的题根,而对分段函数单调性的上述结论,则是此类问题的母题.该题是已知分段函数的单调性,求参数范围的典例. 2.由单调性解不等式 子题类型Ⅱ:(2009年天津高考试题)已知函数f(x)=,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是( ) (A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2) (C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞) [解析]:令m(x)=4x2-x2(x0),M(x)=x2+4x(x≥0),则m(x)在(-∞,0)上单调递增,M(x)在 [0,+∞)上单调递增,且m(0)=M(0)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增(且是奇函数,函 数f(x)的图象如图所示);所以,f(2-a2)f(a)2-a2aa∈(-2,1).故选(C). [点评]:已知f(x)是分段函数,解复合函数不等式:f(g(x))f(h(x))的关键是利用母题判断分段函数f(x)的单调性,然后,利用单调性函数的脱壳性解决问题. 3.离散变量的单调性 子题类型Ⅲ:(2010年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题)设函数f(x)=,数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 . [解析]:令m(x)=(3-a)x-3(x≤7),M(x)=ax-6(x7),由{an}是递增数列f(n)在N*上单调递增 m(n)和M(n)单调递增,且M(8)m(7)3-a0,a1,且a27(3-a)-3a∈(2,3). [点评]:关于分段函数离散变量的单调性有:己知函数f(x)=(a∈N*),则:①函数f(n)(n∈N*)单调递增m(n)(n∈N*,na)单调递增,M(n)(n∈N*,n≥a)单调递增,且m(n-1)M(n);②函数f(n)(n∈N*)单调递减m(n)(n∈N*,na)单调递减,M(n)(n∈N*,n≥a)单调递减,且m(n-1)M(n). 4.子题系列: 1.(2006年北京高考文科试题)己知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是( ) (A)(1,+∞) (B)(-∞,3) (C)[,3) (D)(1,3) 2.(2010年福建省高一数学夏令营选拔试题)若函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是( ) (A)[,3) (B)(1,3) (C)(0,] (D)[1,) 3.(2011年湖南省高中数学夏令营试题)已知函数f(x)=,无论t取何值时,函数f(x)在R上总是不单调.则实数a的取值范围为 . 4.(2010年江苏高考试题)已知函数f(x)=,则满足不等式f(1-x2)f(2x)的x的范围是________.