高考数学母题：二项展开式的赋值方法.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 349 [中国高考数学母题](第113号) 二项展开式的赋值方法 由于二项式与其展开式之间恒等关系,这为应用赋值方法提供了基础;使用赋值方法可解决二项式展开式中的二项式系数和与展开式项的系数和的有关结论;赋值方法体现了整体处理问题的思想. [母题结构]:若f(x)=[M(x)+N(x)]n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则:①常数顶a0=f(0);②最高项的系数an=M(x)+N(x)最高项的系数的n次方;③系数和a0+a1+a2+…+an=f(1);④偶数项系数和a0+a2+a4+…=[f(1)+f(-1)];奇数项系数和a1+a3+a5+…= [f(1)-f(-1)]; [母题解析]:略. 1.二项式系数 子题类型Ⅰ:(2004年湖北高考试题)已知()n的展开式中各项系数之和为128,则展开式中x5的系数是 (用数字作答). [解析]:由()n的展开式中各项系数之和=2n=128n=7Tk+1=C7k()7-k()kx5的系数=C73=35. [点评]:二项式(1+x)n=Cn0+Cn1x+…+Cnnxn展开中的组合数Cnk又称为二项式系数,利用赋值方法可得:①所有二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n(只须令x=1);②奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和=2n-1(只须再令x=-1). [同类试题]: 1.(2015年湖北高考试题)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) (A)29 (B)210 (C)211 (D)212 2.(2005年山东高考试题)如果(3x-)n的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是 . 2.展开式系数 子题类型Ⅱ:(2007年安徽高考试题)己知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)的值等于 . [解析]:设f(x)=(1-x)5,则f(1)=0,f(-1)=25;由a0+a2+a4=[f(1)+f(-1)],a1+a3+a5=[f(1)-f(-1)](a0+a2+a4)(a1+a3+ a5)=[f2(1)-f2(-1)]=-256. [点评]:若展开式是关于x的多项式f(x),则偶数项系数和与奇数项系数和的乘积=[f2(1)-f2(-1)]/4;偶数项系数和与奇数项系数和的平方差=f(1)f(-1). [同类试题]: 3.(2010年江西高考试题)(2-)8展开式中不含x4项的系数的和为( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 4.(2006年江西高考试题)在(x-)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于( ) (A)23008 (B)-23008 (C)23009 (D)-23009 3.微积分方法 子题类型Ⅲ:(2009年湖北高考试题)已知(1+ax)5=1+10x+bx2+…+a5x5,则b= . [解析]:设f(x)=(1+ax)5=1+10x+bx2+…+a5x5(x)=5a(1+ax)4=10+2bx+…+5a5x4(0)=5a=10a=2;(x)=80(1+ 2x)3=2b+…+640x4(0)=80=2bb=40. [点评]:对二项式展开式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,我们对该等式可以:①两边同时求导,称为微分法;②两边同时积 350 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 分方法,称为积分法;达到解决问题的目的. [同类试题]: 5.(2014全国高中数学联赛四川初赛试题)设(1-2x)7=,则2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值是 . 6.(2013年福建高考试题)当x∈R,|x|1时,有如下表达式:1+x+x2+…+xn+…=,两边同时积分得:+++…++…=,从而得到如下等式:1×+×()2+×()3+…+×()n+1+…=ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:Cn0×+Cn1×()2+Cn2×()3+…+Cnn