高考数学母题：巧寻待用不等式妙证和型不等式.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 巧寻待用不等式.妙证和型不等式 证明和型不等式.寻找待用不等式的技法 承担课标高考压轴试题的函数分析问题呈现一题多问(至少两问),且前后两问之间具有递进关系的特点,充分表现这一突出特点的一类典型试题是:落脚于证明和型不等式. [母题结构]:己知函数f(x).(Ⅰ)研究基于函数f(x)性质的有关问题;(Ⅱ)证明和型不等式. [母题解析]:证明和型不等式的关键是把待证和型不等式的左右两边分别视为数列{an}与{bn}的前n项和,并从第(Ⅰ)问中巧妙寻找关于数列{an}与{bn}的通项an与bn的不等式,其寻找的方法有: 1.逆向寻找 子题类型Ⅰ:(2010年湖北高考试题)已知函数f(x)=ax++c(a0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1. (Ⅰ)用a表示出b,c; (Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围; (Ⅲ)证明:1+++…+ln(n+1)+(n≥1). [解析]:(Ⅰ)由f(1)=a+b+c=0,(1)=a-b=1b=a-1,c=1-2a; (Ⅱ)令g(x)=f(x)-lnx=ax++1-2a-lnx,则(x)=a--=(x-1)(x-);①当0a时,1g(x)在(1,)上递减g(x)g(1)=0f(x)lnx,矛盾;②当a≥时,≤1g(x)在[1,+∞)上递增g(x)≥g(1)=0f(x)≥lnx.综上,a的取值范围是[,+∞); (Ⅲ)令数列{an}的前n项和=ln(n+1)+,则an=ln(1+)+(-),只需证:anln(1+)(+); 由(Ⅰ)知,当令a=时,f(x)≥lnxlnx≤(x-),当且仅当x=1时,等号成立;令x=1+得:ln(1+)(+). [点评]:逆向寻找的基本思路是:首先把待证和型不等式:g(1)+g(2)+…+g(n)T(n)中T(n)视为数列{an}的前n项和,并由此求出数列{an}的通项an,然后,着意于从第(Ⅰ)问中巧妙寻找有关的不等式,并利用赋值法得:g(n)an,由此解决问题. 2.等比构造 子题类型Ⅱ:(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知f(x)=ex-x-1(e为自然对数的底数). (Ⅰ)求证:f(x)≥0恒成立; (Ⅱ)求证:()n+()n+()n+…+()n. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=ex-x-1(x)=ex-1f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增fmin(x)=f(0)=0 f(x)≥0; (Ⅱ)由=,联想首项为e,公比为的等比数列{an}:an=e()(n-1)的前n项和Sn;又an=e()n-1是项数n的递减函数;所以,视数列:()n,()n,()n,…,()n的通项(()n)为bk=[]n,只须证bk Ak,即[]ne()k-1=(k≤2n-1)1-(令x=-)1+xex,由(Ⅰ)可得. [点评]:证明和型不等式:g(1)+g(2)+…+g(n)M的一个绝妙方法是等比构造:首先把M变为,其中,0q1,由此构造等比数列{an}:an=a1qn-1;然后,着意于从第(Ⅰ)问中巧妙寻找有关的不等式,并利用赋值法得:g(n)an,由此解决问题. 3.正向寻找 子题类型Ⅲ:(2013年全国高考试题)已知函数f(x)=ln(1+x)-. (Ⅰ)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值; (Ⅱ)设数列{an}的通项an=1+++…+,证明:a2n-an+ln2. [解析]:(Ⅰ)由f(0)=0,(x)=-[(1-2λ)-λx];①若λ,则当x∈(0,2(1-2λ))时,(x)0f(x)f(0)=0;②若λ≥,则(x)0f(x)≤f(0)=0.综上,λ的最小值是; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当λ=时,f(x)≤0ln(1+x)≤;取x=得:ln(+)ln(k+1)-lnk a2n-an+=++…++=(+)+(+)+…+(+)[ln(n+1)-lnn]+[ln(n+2)- ln(n+1)]+…+[ln2n-ln(2n-1)]=ln2n-lnn=ln2. [点评]:正向寻找的基本思路是:首先从第(Ⅰ)问中巧妙寻找有关的不等式(一般取参数的最值,得所需的不等式),再利用赋值法得关于正整数n的不等式,最后,根据叠加法证明和型不等式. 4.子题系列: 1.(2012年天津高考试题)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a0. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值; (Ⅲ)证明:-ln(2n+1)2(n∈N*). 2.(2014年陕西高考试题)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=x(x),x≥0,其中(