高考数学母题：函数的最值问题导数方法程序化.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 函数的最值问题.导数方法程序化 导数方法解决函数最值问题的程序化 函数的最大值或最小值(合称为最值)是函数研究的一个中心问题,也是高考的热点问题;对不含参数的连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值问题,其解题过程是程序化的. [母题结构]:求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值. [解题程序]:①求导函数(x),并解方程(x)=0;②列表确定函数f(x)在区间(a,b)内的极大值点和极小值点,并求出所有的极值;③求f(a),f(b)与所有极大值中的最大者,得最大值,求f(a),f(b)与所有极小值中的最小者,得最小值. 1.闭区间上的最值 子题类型Ⅰ:(2007年课标高考试题)设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)求f(x)在区间[-,]的最大值和最小值. [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(-,+∞);由f(x)=ln(2x+3)+x2(x)= (x+1)(x+),由此列表如下,由表知,f(x)分别在区间(-,-1)和(-1,+∞)内单调递增,在区间(-1,-)内单调递减; (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在区间[-,]的最小值=f(-)=ln2+;由f(-)=ln+,f()=ln+f()-f(-)= ln-=(ln-1)0f(x)在区间[-,]的最大值=f()=ln+. [点评]:连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值,也必有最小值;连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值问题是高考的重点,按函数中是否含有参数可分为不含参数与含有参数两类,不含参数的问题是基本且重要的问题,应理解掌握其程序化的解题过程. 2.开区间上的最值 子题类型Ⅱ:(2005年全国Ⅰ高考试题)(Ⅰ)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0x1),求f(x)的最小值; (Ⅱ)设正数p1,p2,p3,…,p满足p1+p2+p3+…+p=1,证明:p1log2p1+p2log2p2+p3log2p2+…+plog2p≥-n. [解析]:(Ⅰ)由(x)=log2x-log2(1-x)当x∈(0,)时,(x)0f(x)在区间(0,)内单调递减;当x∈(,1)时,(x)0f(x)在区间(,1)内单调递增f(x)的最小值=f()=-1; (Ⅱ)用数学归纳法证明:①当n=1时,由p1+p2=1f(p1)=p1log2p1+(1-p1)log2(1-p1)=p1log2p1+p2log2p2≥-1,命题成立;②假设当n=k时命题成立,即若正数p1,p2,p3,…,p满足p1+p2+p3+…+p=1,则p1log2p1+p2log2p2+p3log2p2+…+plog2p≥-k;当n=k+1时,若正数p1,p2,p3,…,p满足p1+p2+p3+…+p=1,令x=p1+p2+p3+…+p,qi=(i=1,2,…,2k),则qi0,且q1+ q2+q3+…+q=1,由归纳假设知q1log2q1+q2log2q2+q3log2q2+…+qlog2q≥-kp1log2p1+p2log2p2+p3log2p2+…+plog2p =x(q1log2q1+q2log2q2+q3log2q2+…+qlog2q+log2x)≥x(-k+log2x);同理,由p+p+…+p=1-xplog2p +plog2p+…+plog2p≥(1-x)[(-k)+(1-x)log2(1-x)]p1log2p1+p2log2p2+p3log2p2+…+plog2p≥x(-k +log2x)+(1-x)[(-k)+(1-x)log2(1-x)]=(-k)+xlog2x+(1-x)log2(1-x)≥-(k+1),即当n=k+1时命题也成立.根据①、②可知对一切正整数n命题成立. [点评]:连续函数f(x)在开区间上的最值问题有:①(最大值定理):如果函数f(x)的导函数(x)在开区间(a,b)内单调递减,且存在零点x0,则f(x0)是函数f(x)在区间(a,b)内的最大值;②(最小值定理):如果函数f(x)的导函数(x)在开区间(a,b)内单调递增,且存在零点x0,则f(x0)是函数f(x)在区间(a,b)内的最小值. 3.最值问题的引伸 子题类型Ⅲ:(2015年课标Ⅱ高考试题)已知函数f(x)=lnx+a(1-x). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围. [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞);由f(x)=lnx+a(1-x)(x)=-a;①当a≤0时,(x)0f(x)在(0,+∞)内单调递增;②当a0时,由(x)=-