高考数学母题：“鳖臑”在高考中的精彩演绎.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXXXX) “鳖臑”在高考中的精彩演绎 分离鳖臑.巧妙解题 高考对鳖臑的考查是全方位的,除直接和包装考查外,还有隐含考查,“鳖臑”在高考中,具有精彩的演绎;隐含考查的基本形式是把鳖臑隐含于几何体中,解答该类问题的基本方法是分离鳖臑. [母题结构]:(Ⅰ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若平面A1BC⊥侧面A1ABB1,则 四面体A1ABC的四个面都为直角三角形; (Ⅱ)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若E是BC的中点,则四面体A1ABE、A1ACE、 C1ACE、B1ABE的四个面都为直角三角形; [解题程序]:(Ⅰ)由平面ABC⊥侧面A1ABB1,平面A1BC⊥侧面A1ABB1BC⊥侧面A1ABB1BC⊥AB四面体A1ABC的四个面都为直角三角形;(Ⅱ)略; 1.翻转隐含 子题类型Ⅰ:(2009年福建高考试题)如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=600,AB=2,AD=4, 将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EDB⊥平面ABD. (Ⅰ)求证:AB⊥DE; (Ⅱ)求三棱锥E-ABD的侧面积. [解析]:(Ⅰ)由∠DAB=600,AB=2,AD=4CD⊥BDED⊥BD;又由平面EDB⊥平面ABD,且ED⊥BDED⊥平面ABDED⊥ABAB⊥DE;(Ⅱ)由ΔABD的面积=ΔEBD的面积=2,ΔABE的面积=ΔADE的面积=4三棱锥E-ABD的侧面积=8+2. [点评]:在平行四边形ABCD中,若AB⊥BD,将△CBD沿BD折起到△EBD,使平面EDB⊥平面ABD,则四面体ABDE是鳖臑. 2.锥体隐含 子题类型Ⅱ:(2007年天津高考试题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=600, PA=AB=BC,E是PC的中点. (Ⅰ)求PB和平面PAD所成的角的大小; (Ⅱ)证明:AE⊥平面PCD; (Ⅲ)求二面角A-PD-C的大小. [解析]:(Ⅰ)由PA⊥底面ABCD,AB⊥ADPB和平面PAD所成的角=∠APB=450; (Ⅱ)由∠ABC=600,AB=BCAC=AB=PA;由E是PC的中点AE⊥PC;又由CD⊥平面PACCD⊥AE AE⊥平面PCD; (Ⅲ)作EM⊥PD于M,则AM⊥PD∠AME是二面角A-PD-C的平面角;由∠CAD=300,设AC=a,则PA=a,AD =a,PD=a,AE=a,AM=asin∠AME=. [点评]:判断四面体PACD是鳖臑是解答本题的关键,满足下列条件之一的四面体PABC是鳖臑:①PA、AC、BC两两互相垂直;②PA⊥平面ABC,且AC⊥BC;③PA⊥平面ABC,且PC⊥BC④PA⊥平面ABC,且BC⊥平面PAC. 3.柱体隐含 子题类型Ⅲ:(2011年湖北高考理科试题)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合. (Ⅰ)当CF=1时,求证:EF⊥A1C; (Ⅱ)设二面角C-AF-E的大小为θ,求tanθ的最小值. [解析]:(Ⅰ) (Ⅱ)把鳖臑FACE分离出来,并放置于长方体中,如图,作CM⊥AF于M,CN⊥EF于N,则CN⊥平面AEF CN⊥AFAF⊥平面CMNθ=∠CMN;由AC=4,AE=2,CE=2,设CF=t(0t≤4),则CN==,CM== sinθ=sin∠CMN===≥ =tanθ的最小值=. [点评]:通过柱体隐含鳖臑的方式多样,除母题给出的二种形式外,还可以柱体内接的方式(见下面的子题4). 4.子题系列: 1.(2015年安徽高考试题)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC, PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=600. (Ⅰ)求三棱锥P-ABC的体积; (Ⅱ)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值. 2.(2011年课标高考试题)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形, ∠DAB=600,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高. 3.(2008年湖北高考试题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1. (Ⅰ)求证:AB⊥BC; (Ⅱ)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为,试判断θ 与的大小关系,并予以证明. 4.(2011年湖北高考文科试题)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3, 点E在侧棱AA1上,点F在侧棱BB1上,且AE=2,BF=. (Ⅰ)求证:CF⊥C1E; (Ⅱ)求二面角E-CF-C1的大小.