高考数学母题：向量视角下的平面区域定理及其应用.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 向量视角下的平面区域定理及其应用 向量视角下的平面区域试题类型及其解法 基于平面向量基本定理,并根据三点共线向量定理,可得向量视角下的平面区域定理如下,由向量视角下的平面区域定理可直接生成三类高考试题. [母题结构]:(平面区域定理)已知点O不在直线AB上,动点P满足:= x+y, 过点O作直线l∥AB,直线l、AB、OA、OB把平面顺次分为九个部分(不包括边界),如图: 则:①点在区域Ⅰ内;②点在区域Ⅱ内;③点在区域Ⅲ内 ;④点在区域Ⅳ内;⑤点在区域Ⅴ内;⑥点在区域Ⅵ内;⑦点在区域Ⅶ内;⑧点在区域Ⅷ内;⑨点在区域Ⅸ内. [母题解析]:由三点共线定理:“点P在直线AB上x+y=1”得“点P在直线l上x+y=0”,由此可得:㈠点在区域Ⅰ、Ⅳ、Ⅷ内0x+y1;㈡点在区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅸ内x+y1;㈢点在区域Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ内x+y0;又点在区域Ⅰ、Ⅱ内x0,y0; 点在区域Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ内x0.y0;点在区域Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ内x0,y0;点在区域Ⅵ内x0,y0①②③④⑤⑥⑦⑧⑨. 1.由给定区域,求系数的约束条件 子题类型Ⅰ:(2006年湖南高考理科试题)如图,OM,AB,点P在由射线OM、线段OB及 AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动.且=x+y,则x的取值范围是 ; 当x=-时,y的取值范围是 . [解析]:由点P在所在区域x的取值范围是(-∞,0);当x=-时,y的取值范围是(,); [点评]:本题可以说是此类问题在高考中的第一题,“由给定区域,求系数的约束条件”是此类试题的第一类型;解答第一类型试题首先确定区域各边界所满足的约束条件,再由此确定区域所满足的约束条件. 2.由系数的约束条件,求区域面积 子题类型Ⅱ:(2013年安徽高考试题)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A、B满足||=||==2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( ) (A)2 (B)2 (C)4 (D)4 [解析]:由||=||==2cos,=,=;①当λ、 μ≥0时,由|λ|+|μ|≤1点P所表示的区域是△OAB(包括边界),S△OAB=;②当λ ≤0,μ≥0时,由|λ|+|μ|≤1点P所表示的区域是△OBC(包括边界),S△OBC=;③ 当λ≤0,μ≤0时,由|λ|+|μ|≤1点P所表示的区域是△OCD(包括边界),S△OCD=;④当λ≥0,μ≤0时,由|λ|+|μ|≤1点P所表示的区域是△OAD(包括边界),S△OAD=.综上,区域的面积=4.故选(D). [点评]:“由系数的约束条件,求区域的面积”是此类试题的第二类型;解答第二类型试题首先选定两个“基底向量”,然后,在此“基底向量”下,由母题确定区域;应当指出的是:有时需要选定构造多组“基底向量”. 3.区域与系数约束条件的变化引伸 子题类型Ⅲ:(2014届安徽“江南十校”高三开年第一考)在△ABC中,D为AB的中点,动点P在△BCD的边界及其内 部运动,且满足=x+y,则点(x,y)构造的平面区域的面积是( ) (A) (B) (C) (D)1 [解析]:由,动点P在△BCD的边界及其内部运动,且=x+yx≥0,y≥0,x+y≥1;又由=x+y x+y≤1点Q(x,y)满足约束条件:“x≥0,y≥0,x+y≥1,x+y≤1”,在△MEF内(包括边界),其中,M(0,1),E(1,0),F(2, 0)点Q(x,y)构造的平面区域的面积=S△MEF=.故选(B). [点评]:对第一、二类型试题的变化引伸均有:动点所在区域和系数满足的约束条件这两个方向,如,给定区域,把系数满足的约束条件与线性规划进行有机交汇;给定区域及其面积,把系数满足的约束条件与基本不等式进行有机交汇等. 4.子题系列: 1.(2006年湖南高考文科试题)如图,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的 阴影区域内(不含边界).且,则实数对(x,y)可以是( ) (A)(,) (B)(-,) (C)(-,) (D)(-) 2.(2013年全国高中数学联赛河南初赛试题)如图所示,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD, AD=DC=1,AB=3,动点P在ΔBCD内运动(含边界),设=α+β(α、β∈R), 则α+β的取值范围是 . 3.(2013年北京高考试题)已知点A(1,-1)