大地测量学资源课第4.1-6节第四章 地球椭球数学投影的基本理论.ppt

2）高程对长度归算的影响 地面观测值归算至椭球面(续) 电磁波测距的归算 地面观测值归算至椭球面(续) 椭球面两点间大地长度与相应法截线长度之差可忽略不计；同样两点间法截线长度与其半径等于起始点曲率半径的圆弧长度相差也很小，S=200km, 其差值为5mm。 地面观测值归算至椭球面(续) 将上式按反正弦级数展开可得： 将上式按二项式展开 两点间弦长： 天文方位角归算为大地方位角 天文天顶距归算为大地天顶距 天文经纬度归算为大地经纬度 地面观测值归算至椭球面(续) 球面直角三角形公式 任一内角的余弦等于不相邻两内角的正弦之积。 任一内角的余弦等于相邻两内角的余切之积。 常用数学公式 本节常用数学公式（补充内容） 常用数学公式 二项式幂级数展开式 常用数学公式 三角函数幂级数化为倍角函数公式 常用数学公式 三角函数级数 反三角函数级数 作业与思考题 1）在椭球面上哪两点的相对法截线合而为一？此法截线是不是大地线？ 2）试比较椭球面上某一点子午线的曲率半径，卯酉线的曲率半径为，平均曲率半径三者数值大小关系，在何处三者大小相等? 3）什么是大地线？试推求大地线微分方程 4）椭球面上有一条大地线，其大地线常数C=a (a为椭球长半轴)，则该大地线如何描述？若C=1996.5公里，则该大地线在北纬最高纬度处的平行圈半径是多少？ 5）地面方向观测值与距离观测值如何归算到椭球面上？ * 椭球面上几种曲率半径 因为 故有 椭球面上几种曲率半径 另一种计算方法（补充） 由高等数学可知已知某曲线方程 ，则曲线任意点的曲率半径 在旋转椭球体子午面内，子午线曲线方程可由直角坐标来描述： 也可采用大地纬度或归化纬度的参数方程来加以表达 以归化纬度为参数的参数方程为例：对该参数方程求导一阶和二阶导数，即得到 大地纬度与归化纬度的关系满足 椭球面上几种曲率半径 椭球面上几种曲率半径 B M 说 明 在赤道上，M 小于赤道半径a 在此间 M 随纬度的增大而增大； 在极点上，M 等于极点处曲率半径 c 卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈: 过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，另一条为斜截弧，在该点上两条截弧具有公共切线，则斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。 椭球面上几种曲率半径 结论：卯酉圈曲率半径N等于法线介于椭球面与短轴之间的长度。 卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。 B M 说 明 卯酉圈变为赤道，N为赤道半径a 在此间 N 随纬度的增大而增大； 卯酉圈变为子午圈，N 等于极点处曲率半径 c 椭球面上几种曲率半径 主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。 椭球面上几种曲率半径 将上述两式按牛顿二项式展开： 椭球面上几种曲率半径 M、N 两主曲率半径正弦函数幂级数展开式的系数: 椭球面上几种曲率半径 M、N 两主曲率半径展开为余弦函数函数的幂级数形式： 椭球面上几种曲率半径 M、N 两主曲率半径余弦函数幂级数展开式的系数分别为： 任意法截弧的曲率半径 椭球面上几种曲率半径 尤拉公式： 任意法截弧的曲率半径的变化规律: ＲＡ不仅与点的纬度B 有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。 当Ａ＝0°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ； 当 A＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。 当 A 由 0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当 A 由 90°-180°时,ＲＡ值由 N→Ｍ，可见 ＲＡ值的变化是以 90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。 椭球面上几种曲率半径 平均曲率半径 平均曲率半径是指经过曲面任意一点所有方向上的法截线曲率半径 R A 的算术平均值。 结论：椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该点子午圈曲率半径 M和卯酉圈曲率半径 N 的几何平均值。 积分变量代换，令 椭球面上几种曲率半径 椭球面上几种曲率半径 M，N，R的关系 曲率半径 N R M 公式 4.4 椭球面上的弧长计算 子午线弧长计算公式 椭球面上的弧长计算也椭球体有关的计算内容之一，在高斯