高中 数学 成才之路必修4 1-2-1 任意角的三角函数.pptVIP

1．2　任意角的三角函数 一、阅读教材P11～14回答 1．单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以 为圆心，以 为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义 如图，设α是一个任意大小的角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sinα，即 ； (2)x叫做α的余弦，记作cosα，即 ； (3) 叫做α的正切，记作tanα，即 ． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成自变量为 的函数． 3．正弦、余弦、正切函数的定义域 4．三角函数值在各象限的符号 5．诱导公式(一) 根据三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同名三角函数的值 ． 由此得到诱导公式(一)． sin(α＋k·2π)＝ ， cos(α＋k·2π)＝ ， tan(α＋k·2π)＝ . 其中k∈Z. 二、解答下列问题 1．sin0＝ ，cosπ＝ ，sin ＝ ， tan ＝ ． 2．(1)如果sinα0，且cosα0，则α是第 象限的角； (2)如果tanα0，且cosα0，则α是第 象限的角； (3)如果sinα0，且tanα0，则α是第 象限的角； (4)如果cosα0，且sinα0，则α是第 象限的角． 重点：①任意角三角函数的定义与正弦、余弦、正切函数的定义域． ②三角函数值的符号的判定和诱导公式(一)． 难点：①根据三角函数的定义求三角函数值． ②正切函数定义域． 1．对三角函数定义的理解 (1)各三角函数都是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，其关系如下图所示． 这样，三角函数就像前面研究的其它基本初等函数一样，都是以实数为自变量的函数了． 2．各象限三角函数值的符号可只记忆正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 3．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍． 在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多对一，即给定一个角，它的各个三角函数值是惟一确定的(不存在的情况除外)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应，如：α＝0时，sinα＝0，但当sinα＝0时，α＝kπ，k∈Z. 4．判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在象限的确定，不要忽略终边落在坐标轴上的情况． 5．要重视单位圆在理解三角函数定义、定义域及三角函数值的符号中的作用．由于P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，∴当点P落在x轴上时sinα＝0，tanα＝0，cosα＝±1，当点P落在y轴上时，cosα＝0，tanα无意义，sinα＝±1.当点P落在第二象限时，x0，y0，∴cosα0，sinα0，tanα0等等．当角的终边相同时，点P的坐标相同，从而各三角函数值对应相等．这就是诱导公式(一)． [例1]　已知角α的终边经过点P(2，－3)，求sinα，cosα，tanα的值． [点评]　本题易错点是开方时，忽视x的符号讨论，得出r＝2x致误． [分析]　计算r时，由于含有cosθ，应据角θ的象限确定cosθ的符号，再求r. [点评]　根据三角函数定义的要求，在角α终边上任取一点P(x，y)，应有r＝|OP|0，故P与原点不重合；求已知角的三角函数值时，先在角的终边上取点P(x，y)探求x、y与r的关系，然后据定义求三角函数值． [答案]　(1)　(2)　(3) [分析]　先把角α表达成α＝k·360°＋β　k∈Z,0°≤β360°或α＝2kπ＋β　k∈Z,0≤β2π的形式，再套用诱导公式，然后结合象限定符号． 选择题 1．若三角形的两内角α、β满足sinαcosβ0，则此三角形必为 (　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 [答案]　B [解析]　∵sinαcosβ0，∴cosβ0， ∴β是钝角，故选B. 2．若角α的终边过点(－3，－2)，则(　　) A．sinαtanα0 B．cosαtanα0 C．sinαcosα0 D．sinαcosα0 [答案]　C [解析]　∵角α的终边过点(－3，－2)， ∴sinα0，cosα0，tanα0， ∴sinαcosα0，故选C. 3．角α满足条件sinα·cosα0，sinα＋cosα0，则α在 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　C [解析]　∵sinαcosα0，sinα＋cosα0 ∴sinα0，cosα0，∴α是第三象限角． [答案]　B [答案]　B [答案]　D 7．(2010·深圳中学)若sin