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绝对值的几何意义 【知识要点】大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍． 【例题精讲】 【例题】我们知道，|a|可以理解为|a-0|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A．B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB=|a-b|，利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示8和3的两点之间的距离是______，数轴上表示-2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是__________； （2）数轴上点A用a表示，则|a-3|=5的几何意义是_____________，利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是___________________； (3) 利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是_____________. 【思路点拨】 （1）根据数轴上两点间的距离公式，可得答案；（2）根据到一点距离相等的点有两个，可得a的值；（3）根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案． 【解析】 解：（1）数轴上表示8和3的两点之间的距离是 5，数轴上表示-2和5的两点之间的距离是 7，数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是 4； （2）数轴上点A用a表示，则|a-3|=5的几何意义是 数轴上表示a和3两点之间的距离是5，利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是-2或8； （3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义 数轴上点x与-1的距离与点x与-2距离的和，利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是 1， 故答案为：5，7，4；数轴上表示a与3两点之间的距离是5，-2或8；数轴上点x与-1的距离与点x与-2的距离的和是1． 【总结升华】本题考查了绝对值，（1）数轴上两点间的距离公式，（2）到一点距离相等的点有两个；（3）线段上的点与线段两端点的距离的和最小． 【例题】阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即 |x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离； 这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离； 在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义： 例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2； 例2：解不等式|x-1|＞2．如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x+3|=4的解为____________________； （2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9； （3）若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围． 【思路点拨】仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答． 【解析】 解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7． （2）∵3和-4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4． 当x在-4的左边时，如图，易知x≤-5． ∴原不等式的解为x≥4或x≤-5（3）原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值． 当x≥3时，|x-3|-|x+4|应该恒等于-7，当-4＜x＜3，|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小，当x≤-4时，|x-3|-|x+4|=7，即|x-3|-|x+4|的最大值为7． 故a≥7． 【总结升华】本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理． 【巩固练习】 1、我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离； 例1解方程|x|=2，容易看出，在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2，即该方程的解为x=±2 例2解不等式|x-1|＞2，如图，在数轴上找出|x-1|＞2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1、3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或X＞3参考阅读材料，解答下列问题： 不等式|x+3|＞