数学归纳法 PPT课件.pptVIP

* * 数学归纳法 （一） 请问：?以上四个结论正确吗？为什么? ?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点 问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。 问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2?180°，五边形的内 角和为3?180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) ? 180°。 问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为an=2n-1(n≤4，n∈N ) ? ?1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。 ?共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。 ? 一、概念 1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。 归纳法 ｛ 完全归纳法 不完全归纳法 特别注意：用不完全归纳法得出的结论不一定正确 2、数学归纳法： 思考题： （1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？ （2）数学归纳法有几个步骤？每一个步骤说明什么问题？ （3）为什么这些步骤缺一不可？ （4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？ 例：由下表 1 ＝1＝12 ① 1＋3 ＝4＝22 ② 1＋3＋5 ＝9＝32 ③ 1＋3＋5＋7 ＝16＝42 ④ …… ⑤ 结论：1＋3＋5＋…＋（2n?1）＝n2，(n?N) ⑥ 证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1 ⑦ ?等式成立 ⑧ （2）假设当n=k（k ?N）时，等式成立，即 ⑨ 1＋3＋5＋…＋（2k?1）＝k2 ⑩ 则1＋3＋5＋…＋（2k?1）+(2k+1) ⑾ ＝k2+(2k+1) =(k+1)2 ⑿ ?当n=k+1时，等式也成立 ⒀ 根据（1）（2），可知等式对任意n?N都成立。⒁ 设命题P(n)，其中n∈N且n≥n0 (1)当n=n0（譬如n0=1或2等）时，证明命题P(n0)成立； (2)假设当n=k（k∈N且n≥n0）时命题P(k)成立，证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立； 根据(1)、(2)，命题P(n)对一切自然数n（n≥n0）都成立。 数学归纳法的基本形式： 1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。 由以上可知，用数学归纳法需注意： 归纳法 完全归纳法 不完全归纳法 数学归纳法 可能错误， 如何避免 穷举法 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉 知识小结 ? ? ? ? ? 例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1) 证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21?1=2，左边=右边，等式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k? 1? 3?…? (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)? = 2k? 1? 3?…?(2k-1)(2k+1)?2 = 2k+1?1? 3?…? (2k-1) ?[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。 ? ? *