椭圆的光学性质的证明及相关的一组性质探究-宁波第二中学.doc

圆锥曲线的光学性质及相关的一组性质探究 圆锥曲线具有光学性质，具体如下： 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆壁的反射后，反射光线过另外一个焦点。 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线壁的反射后，反射光线的反向延长线过另外一个焦点。 图一抛物线的光学性质：从抛物线的焦点出发的光线，经过抛物线壁反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。 图一 下面就椭圆的光学性质进行证明： 定理1：已知椭圆(图一)，是其左右焦点，是椭圆上任一点，与椭圆在点处相切，与在点处垂直，求证：平分。 图二证明：若点在轴上，命题显然。下面对点不在轴上的情况（即）进行证明：设点坐标为（），则的方程为，由得的方程：，为与轴交点，则，，，是的平分线，证毕。 图二 双曲线和抛物线的光学性质也类似可以证明，在此不再证明。 定理2：已知椭圆(图二)的左右焦点是，是其左右准线，是椭圆上除短轴端点外的任一点，是的平分线与轴交于点，作直线，分别交左右准线于点，则三点共线。 证明：由定理1知点坐标为，，左准线：，得点坐标为，同理，点的坐标为，即三点共线。 现在研究定理2的逆定理： 定理3：已知椭圆(图二)的左右焦点是，是其左右准线，是椭圆上的任一点，过作平行于轴的直线分别交于点，过的直线交轴于点，则是的平分线。 证明：若点在轴上，命题显然。下面对点不在轴上的情况（即）进行证明：设点坐标为，则，，得，则直线的斜率，又椭圆在点处的切线斜率为，，所以，由定理1得是的平分线。 现在将定理3类比到双曲线和抛物线： 图三定理4：已知双曲线，是其左右焦点，是其左右准线，是双曲线上一点，过作轴的平行线交左准线于点，连的直线交轴于点，连，则直线为的外角平分线。 图三 证明：设点坐标，则点坐标为，，则点坐标，得直线的斜率为，而点处切线斜率为，，由双曲线的光学性质知直线为的外角平分线。 图四定理5：已知抛物线，是其准线，是抛物线上除顶点外的任一点，过作平行于轴的直线交于，连交轴于，则直线是抛物线在点处的切线。 图四 证明：设点坐标，则点坐标为，由抛物线定义易知是线段中点，得则点坐标为，则的斜率为，又抛物线在点处的切线斜率为，所以直线是抛物线在点处的切线。 其实，当点无限向抛物线顶点逼近时，和两点无限接近，直线无限接近于轴，所以，从极限的观点来看，定理5可以推广。 从高等数学的角度来看圆锥曲线的焦点和准线： 已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线。当点为焦点时，为其相应的准线。 圆锥曲线的极点和极线间存在着很多性质。 上述的定理3、4、5就是焦点（极点）和准线（极线）间的一组性质。下面利用此定义将定理3、4、5给统一起来，为了表述方便，规定： 定理6：若过圆锥曲线（）上一点作其焦点（极点）对应的准线（极线）的垂线，垂足为，连接的直线与直线交于点，连，若（即曲线为有心曲线），则为曲线在点处的法线，若（即曲线为无心曲线），则点不重合时为曲线在点处的切线，若点重合，则直线为曲线在点处的切线。 对于关系的其它情况也类似，就不再赘述。 参考文献：梅向明等 高等几何[M] 北京：高等教育出版社 2000.5 罗树锋 浙江省宁波第二中学 315000 电话flyvb@163.com