埃尔米特插值.docVIP

2013-2014（1）专业课程实践论文 题目：埃尔米特插值 一、算法理论 1、埃尔米特插值多项式 设已知函数在节点上的函数值以及一切导数值，要求一个插值多项式，使其满足 ， ， (1) 显然，由条件(1)可以确定一个次数不高于的代数多项式，曲线与在节点处不仅重合而且有公共切线。我们采用拉格朗日插值基函数的方法。先求插值基函数，共个基函数，每一个基函数都是一个次多项式，且满足条件 (2) 这里 (3) 于是满足条件(1)的插值多项式 可写成用插值函数表示的形式 (4) 由条件(2)，显然有下面的问题就是要求满足条件(2)的与为此，可利用拉格朗日插值基函数，由条件(2)有个二重零点，于是可令 由条件(2)有 解出 由于 故 于是 (5) 同理，可得 (6) 将(5)式、(6)式 代入式(4)便得到埃尔米特插值多项式 (7) 满足条件(1)的埃尔米特插值多项式是唯一的。这可用反证法证明，此处从略。 2、两点三次埃尔米特插值 设已知在上的节点上的函数值及一阶导数值,则可按公式(7)写出三次埃尔米特插值多项式 二、算法框图 埃尔米特插值框图如下： j=j+1 j=j+1 k=n+1 k=k+1 开始 输入x， j=n+1 输出y 结束 = = 两点三次埃尔米特插值框图如下： 开始 开始 输入x， 输出y 结束 算法程序 1.实现埃尔米特插值的MATLAB函数文件hermite2.m如下 function yy=hermite2(x,y,dy,xx) n=length(y);m=length(x);l=length(dy);k=length(xx); if m~=n,error(向量长度不一致);end; if n~=l,error(向量长度不一致);end; z=zeros(1,k); for j=1:k s=0; for t=1:m; a=0;b=1; for i=1:n; if x(t)~=x(i) a=a+1/(x(t)-x(i)); b=b*((xx(j)-x(i))/(x(t)-x(i))); end end s=s+(y(t)*(1-2*(xx(j)-x(t))*a)*b^2+dy(t)*(xx(j)-x(t))*b^2); end z(j)=s; end yy=z; 2.实现两点三次埃尔米特插值的MATLAB函数文件hermite.m如下 function yy=hermite(x,y,dy,xx) n=length(y);m=length(x);l=length(dy);k=length(xx); if m~=n,error(向量长度不一致);end; if n~=l,error(向量长度不一致);end; z=zeros(1,k); for i=1:k; s=0; a1=(1-2*(xx(i)-x(1)/(x(1)-x(2))))*((xx(i)-x(2))/(x(1)-x(2)))^2; a2=(1-2*(xx(i)-x(2)/(x(2)-x(1))))*((xx(i)-x(1))/(x(2)-x(1)))^2; b1=(xx(i)-x(1))*((xx(i)-x(2))/(x(1)-x(2