3.4基本不等式(优质课).pptVIP

* * 第三章　不等式 1.熟练掌握基本不等式并会证明. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 学习目标 该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 问题导学1： a b 1、正方形ABCD的面积 S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的 面积和 S’ =＿＿ ３、S与S’有怎样的不等关系？ SS′ 那么它们有相等的情况吗？ (a≠b) A D B C E F G H b a 猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 A B C D E(FGH) a b (a≠b) (a＝b) ＝ 思考：你能给出不等式 的证明吗？ 证明：（作差法） 重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 替换后得到： 即： 即： 问题一 证明：要证 只要证 ① 要证①，只要证 ② 要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 问题二 若a0，b0，则 ≥ 通常我们把上式写作： 当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 基本不等式定义 适用范围： a0,b0 观察下图，你能得到不等式 的几何解释吗？ 问题导学2： 当且仅当a=b时取等号. 基本不等式 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a0,b0 比较重要不等式和基本不等式： 题型一　基本不等式与最值 二、题型探究 　　　　 一正 二定 三相等 二定 凑项：使和成定值 一正 三相等 解　∵x2，∴x－20， 二定 凑项：使积成定值 一正 三相等 即x＝4，y＝12时，上式取等号. 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. “1”的代换 反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件. 口诀：一正、二定、三相等 ∴f(x)的最小值为12. 解　∵x3，∴x－30. ∴f(x)的最大值为－1. 题型二　基本不等式在实际问题中的应用 例2　(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解　设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m. 等号当且仅当x＝y时成立，此时x＝y＝10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m. (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解　设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2. 当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2. 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件. 反思与感悟 * *