2014南京大学高等代数考研冲刺资料与历年真题解.pdfVIP

励学南大考研网   /   2014 南京大学高等代数考研冲刺资料与历年真题解析 科目代码：801 科目名称：高等代数 招生专业：基础数学专业、计算数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业、 运筹学与控制论专业 注意：①所有答案必须写在答题纸或答题卡上，写在本试题纸或草稿纸上均无效； ②本科目不允许使用计算器； ③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、判断题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 判断下列陈述是否正确，并说明理由。 1.设P 是数域，f x ,g x ,d x ∈P x ，则d x 是f x 与g x 的最大公因式当且仅 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 当存在u x ,v x ∈P x ，使得d x u x f x =+v x g x 。 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.如果多项式f x 的根都是多项式g x 的根，则f x | g x 。 ( ) ( ) ( ) ( ) 3.设f x 是有理数域上的多项式，并且 f x , f x 是二次多项式，则f x 在有理数 ( ) ( ( ) ( )) ( ) 域上有三重根。 4.如果实系数多项式f x 无实根，则f x 在实数域上不可约。 ( ) ( ) 5.对任意的m ×n 实矩阵A ，方程AX 0 与方程A AX 0 的解集相等。 6.设A 是一个 级矩阵，如果对于任何 维向量X ，都有 ，则A 为零矩阵。 n n X AX 0 7.设A 是一个 级是对称矩阵，如果A 的所有顺序主子式都大于或等于零，则A 为半正定 n 矩阵。 8.所有 级半正定矩阵所组成的集合是一个凸锥。 n 9.设是一个 级矩阵，如果存在一个整数 使Am 0 ，则A 的特征值都为零。 n m aa 10.设 A E =−2 A 1 A 是一个非零的 维实列向量， 。则 是正交矩阵并且 是 的 a n n −1 n a a 重根。 二、填空题（本题共 6分，每小题 5 分，共 30 分） 1.设 A ee ，其中 e 是每个分量都为 1 的四维列向量。则矩阵 A 的全部特征值 为 ，相应的特征向量是 。 ⎛1 2 3⎞ −1 ⎜ ⎟ ∗ 2.设矩阵A 可逆且A ⎜0 1 2 ⎟，则A 的伴随矩阵A 。 ⎜⎝2 0 2 ⎟⎠   励学南大考研网   /   a a a a