高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社3.pptVIP

第四章 不定积分 §1. 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 有关原函数的几个问题 定义2： 不定积分的几何意义: 积分号与微分号的作用相互抵消。 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质 例 题 讨 论 课 外 作 业 一、第一类换元法 课 外 作 业 二、第二类换元法 例 题 讨 论 课外作业 同理： 例5： 或 例6： 2 例7： 例8： 例9： 一般： 例10： 例11： 一般： 例12： 例13： 习 4 — 2（A） 3（4，6，7，9，11）， 4（3，4，5，9，12） 习 4 — 2（B） 1（双）， 2（1，3，5，7，8，10） (变量代换法) 定理2. 设 x = ψ (t) 是单调的可导函数， 换元公式： 令 x = ψ (t)， 1. 三角代换 例1： 分析： 目的：消去根式。 利用三角恒等式： 若令 x = a sin t , 被积函数 例1： 解： 令 x = a sin t , d x = a cos t d t , t x a 例2： 分析： 若令 x = a tan t , 解： 令 x = a tan t , d x = a sec 2 t d t . t x a 也可令 x = a sh t ( t 0 ) 解： 令 x = a sh t ， d x = a ch t d t , 例3： 分析： 若令 x = a sec t , 解： 令 x = a sec t , d x = a sec t tan t d t , t x a 或令 x = a ch t ( t 0 ) 如： 小结： 当被积函数含有因子： 目的： 去根号。 例1： 解： t x * 已知物体运动的位置函数 s = s(t)，求时刻 t 的瞬时速度 v = s’(t)。 —— 微分学解决的问题 已知物体运动的速度函数 v = v(t)求运动的位置函数 s = s(t)。 —— 积分学解决的问题 一般，已知函数 f(x), 要找另一个函数F(x),使 F’(x) = f (x)。 —— 积分学的任务 定义1： 已知 f (x)是一个定义在区间I上的函数， 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。 如： ∴ x 2 是 2 x 的原函数; d sin x = cos x d x, ∴ sin x 是 cos x 的原函数; ∴ s (t) 是 v (t) 的原函数。 如果存在函数F (x), 使在 I 内的任一点都有 1. 在什么条件下, f (x) 一定存在原函数？ 原函数存在定理： 若 f (x) 在区间 I 上连续， 则在 I 上必存在原函数。 2. 如果 f (x) 有原函数，那么共有几个？ 设F (x) 为 f (x) 的原函数，则 如果有多个，则它们之间有何关系？ ∴ f (x) 如有原函数，就有无穷多个。 ∴F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。 3. 如果 f (x) 有一个原函数 F (x) , 那么F (x) + C 是否包含了 f (x) 的 所有原函数？ 函数 f (x) 的全体原函数就称为 f (x) 的不定积分。 记作 其中 — 积分号 f (x) — 被积函数 f (x) d x — 被积表 达式 x — 积分变量 例： 若F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则 f (x) 的一个原函数F (x) 的图形称为 f (x) 的一条积分曲线， 方程为 y = F (x) . 就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C . 它们相互平行，即在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。 x y 0 x 由不定积分的定义， 则有 又 或 积分号与微分号的作用抵消后加任意常数C。 例： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的切线斜率均为 6 x 的一条曲线。 解： 设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x, y)的切线斜率 为一簇积分曲线。 ② 注意： ③ 依基本导数公式与不定积分的定义， 既可得基本积分公式（15个）： 请同学们参见教材第238页。 基本积分表 ? 是常数); 说明： 简写为 性质1. 函数和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。 性质2. 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。 利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意3点： 1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。