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中華民國第四十四屆中小學科學展覽會 作者說明書 高中組數學科 040414 國立臺南女子高級中學 指導老師姓名 洪士薰 廖婉雅 作者姓名 林柏含 王語萱 郭書寒 、摘要 1. 將 cos n 以cos 形式依高次降羃排列展開，觀察各項係數，找尋其變化規律，進一步 求得各項係數的一般項公式。 2. 將 sin n 以sin 形式依低次升羃排列展開，觀察各項係數之變化規律，進一步求得各 項係數的一般項公式。 3. 找出cos n 與cos(n-1) ，cos(n+1) 之間的關係式。 4. 找出sin n 與sin(n-1) ，sin(n+1) 之間的關係式。 5. 利用 cos 的係數間的遞迴關係，找出其相對應的特徵方程式。 nq 二、研究動機 在高中數學中 ，我們學過了sin 及 cos 的半角、二倍角、及 三倍角的公式,不禁讓 我們 納悶—為什麼沒有介紹四倍、五倍、六倍….等的n倍角公式呢?? 我們決定來探討這個問題 ，看看是否能推導 出sin 及 cos 的 n倍角公式。 三、研究目的 找出cos n 與sin n 各項係數之間的關係 ,並推導出sin 及 cos 的 n倍角公式。 四 、研究器材 計算 機、電腦 1 五、研究過程 壹、 及 的數據表 cos nq vs cosq sinnq vs sinq 一、將cosnq 以 cosq的形式降羃排列展開 ： cosq cosq cos 2q 2 cos2 q 1 cos 3q 4 cos3 q 3cosq cos 4q 8cos4 q 8cos2 q 1 cos 5q 16cos5 q 20 cos3 q 5cosq cos 6q 32 cos6 q 48 cos4 q 18cos2 q 1 (1.1) cos 7q 64 cos7 q 112cos5 q 56 cos3 q 7 cosq cos 8q 128cos8 q 256 cos6 q 160cos4 q 32 cos2 q 1 cos 9q 256 cos9 q 576 cos7 q 432 cos5 q 120cos3 q 9 cosq cos 10q 512 cos10 q 1280cos8 q 1120cos6 q 400 cos4 q 50 cos2 q 1 cos 11q 1024cos11 q 2816 cos9 q 2816 cos7 q 1232cos5 q 220 cos3 q 11cosq cos 12q 2048 cos12 q 6144 cos10 q 6912 cos8 q 3584 cos6 q 840 cos4 q 72 cos2 q 1 令f 1 (x) x f 2 (x) 2x 2 1 f 3 (x ) 4x 3 3x f 4 (x) 8x 4 8x 2 1 f 5 (x ) 16x 5 20x 3 5x 得 cosq f 1 (cosq ) cos 2q f 2 (cos q ) cos 3q f 3 (cos q ) cos 4q f 4 (cos q ) cos 5q f 5 (cos q ) 我們希望找到多項式 f n (x) ，使得 cos nq f n (cosq ) 2 二、將sin nq 以 sinq 形式降羃排列展開
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