（新课标）2017高考数学一轮复习 第八章 立体几何 87 空间向量的坐标表示、运算及应用习题 理.docVIP

PAGE PAGE 33 §8.7　空间向量的坐标表示、运算及应用 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组____________，使得_______________．其中，{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________． 2．空间直角坐标系 (1)如果空间的一个基底的三个基向量____________，且长都为______，则这个基底叫做单位正交基底，常用eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))来表示(其中eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(i))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(j))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k))＝1)． (2)在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：__________________________，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫做原点，向量i，j，k都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面． (3)建系时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，建立____手直角坐标系． (4)在空间直角坐标系中有一点A，若eq \o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk，则有序实数组____________叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作______________．其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的________． 3．空间向量的直角坐标运算 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a，b是非零向量，则 (1)向量加法：a＋b＝__________________． (2)向量减法：a－b＝__________________． (3)数乘：λa＝________________． (4)数量积：a·b＝________________． (5)平行：a∥b(b≠0)?_________?x1＝λx2，________，__________． (6)垂直：a⊥b?__________?_______________． (7)向量a的模eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝_________＝___________． (8)向量a与b夹角公式： cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝____________． (9)点坐标和向量坐标：若点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝____________________，线段AB的长度dAB＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝______________________________． 4．直线的方向向量 (1)与直线l__________的非零向量a叫做直线l的方向向量． (2)空间中任意一条直线l，可以通过l上的一个定点A和l的一个方向向量a来确定．设点P是l上的任意一点，则l有向量表示形式____________，其中t为实数，这种形式叫做直线的点向式．注意同一条直线的点向式表示不唯一． 5．平面的法向量和法向量的求法 (1)平面的法向量 已知平面α，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则________叫做平面α的法向量． (2)平面的法向量的求法 ①设出平面的法向量为n＝(x，y，z)； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； ③根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 ； ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有______个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 6．利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角 设直线l，m的方向向量为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 (1)线线平行：l∥m?__________?___________． (2)线线垂直：l⊥m?__________?__________． (3)线面平行：l∥α?__________?____________． (4)线面垂直，方法一：l⊥α?__________?__________； 方法