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研究性学习报告 ——探索勾股定理 一、 什么是勾股定理。 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。 如图： 图 1 图 2 如图 1，我国古代一般都把直角三角形中， 短的一条直角边叫做“勾”，长的一条直角边叫做“股”，斜边叫做 “弦”。所以，我国古代把直角边与斜边关系所形成的定理，叫做勾股定理（ a2 +b2=c2） 图（ 2）中的直角三角形 ABC中，设 勾 AB=3，股 BC=4，弦 AC=5。按照勾股定理，三条边的关系为： 32 ＋ 42 =52 所以如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为  a、 b，把斜边记为  c，那么它们之间的关 系式是： a2+b2=c 2 即在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。 这就是我国最古老的数学书籍《周髀算经》（约成书于公元前一世纪左右）一开始就指出的： “勾三、股四、弦五”。这是直角三角形的三条边长都是整数时的例证。 古希腊数学家毕达哥拉斯也证明了这个定理。所以在国外，常把这个定理称为毕达哥拉斯定 理。 勾股定理在中国又称为 商高定理 ，在外国称为 毕达哥拉斯定理 。为什么一个定理有这么 多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国 古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说： , 故折矩，勾广三，股修四，经隅五。 什么是 勾、股 呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂 的上半部分称为 勾 ，由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作 商 高定理 。毕达哥拉斯是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另 一位数学家欧几里德（ Euclid ，是公元前三百年左右）在编著《几何原本》时，认为这个定理是 毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为 毕达哥拉斯定理 ，以后就流传开了。 勾股定理的应用非常广泛。 我国战国时期另一部古籍 《路史后记十二注》 中就有这样的记载： 禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。 这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。 二、勾股定理的验证。 1. 我国历代数学家关于勾股定理的论证。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种， 为勾股定理作的图注也不少， 其中较早的是赵爽 （即 赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 将四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实， 然后经过拼补搭配， “令出入相补，各从其类” ，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾 股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也” 。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 2.利用现在的方法也能证明勾股定 理。 如图 (3)  ： 延长 CB到 H, 使 CH=AB, 以 C 为顶点， CH 为 一 边 ， 作 ∠ GCH=∠ CAB,且 使 CG=AC, 以 AC,CG 为 两 边 ， 过 G 做 GD∥AC, 过 A 做 AD∥ CG，再过 D 点作 DE⊥ AB 于 E, 过 G 做 GF⊥ DE 与 F ∵∠ GCH=∠ CAB，∠ ABC=90 ∴∠ CAB+∠ ACB=90 ∠ GCH＋∠ ACB=90 既：∠ ACG=90 又∵ GD∥ AC， AD∥CG，且 CG=AC ∴四边形 ACGD为正方形 . AC=CG=GD=AD,∠ ACG=∠CGD=∠ ADG= ∠ CAD. DE⊥AB，∠ B=90, DE∥CH,∴ CH⊥GF 于 H ∴∠ HGC+∠ HCG=90 ∵∠ ACB+∠ HCG=90 ∴∠ HGC=∠ ACB. ∴可得： ABC≌Δ CHG 同理可证得： ABC≌ CHG≌ GFD≌Δ DEA CH=GF=DE=AB, DF=AE=BC=GH EF=FH=HB=EB ∴四边形 EFHB为菱形 又∵ GF⊥ DE ∴四边形 EFHB为正方形 CH=GF=DE=AB=a, DF=AE=BC=GH=b, AC=CG=GD=AD=c ∴ S 正方形  EFHB=(a  － b) 2 =S正方形  ACGD－ 4#8226;S  ACB=c  2－ 2ab 整理： a2 － 2ab+b2 =c2 － 2ab a2 +b2 =c2 2 2 2 既 AB +BC=AC 三、 名人与勾股定理。 毕达哥拉斯 在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯的影响是最大的。他那传奇般的一生给后代留下了众多神奇的传说。