华东师范大学期中╱期末试卷(A)(简明答案).docVIP

PAGE PAGE 1 华东师范大学期中/期末试卷（A）(简明答案) 2007 —2008 学年第一学期 课程名称：实变函数 学生姓名：___________________ 学 号：___________________ 专 业：___________________ 年级/班级：__________________ 课程性质：专业必修 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 阅卷人签名 ………………………………………………………………………………………… 一.判别题(每题2分,共20分) 设在上单调增,则的不连续点是可数的.（ 正确 ） 不可数个闭集的交集仍是闭集. （错误 ） 设是一列可测集,且则（错误 ） 任意多个可测集的交集是可测集. （错误 ） 若在上可测,则存在型集,在上连续. （ 错误 ） 若在上几乎处处有限,几乎处处收敛于几乎处处有限的则存在闭集,在上一致收敛于.（正确） 是上勒贝格可积函数. （错误 ） 若是上单调增连续函数,且几乎处处成立,则为常值函数. （ 错误 ） 若是上单调严格增绝对连续函数,在满足李普西茨条件,则是上绝对连续函数. （正确 ） 设在上可积,其中是上连续函数,则（ 正确 ） 二.(12分) 若在可测集上,. 求证:在上, 证明： ,因此 . 由于. 于是 所以， 在上, 三. (12分) 设在上可积,. 求证:(1) (2) 证明：(1) 因为在上可积，所以在上可积，因此 （2）再由积分的绝对连续性， 四. (12分) 若是一列上有界变差函数,且 求证:是上有界变差函数. 证：设是的任一分割. 因此是上有界变差函数. 五. (12分) 设是可测集,是内的一列可测子集. 求证： (1)在上一致收敛于的充分且必要条件是: (2)的充分且必要条件是: 证(1)对.由于或因此只能即 反之,若:则这必有 在上一致收敛于. (2)若,则对. 但:, 因此, 反之, 因此,由 可得. 六. (12分) 设在上可积, 求证:(1)在上可积,;(2). 证明：（1）， 其中是可测集， 是可测函数. 因此在上可测.又,此说明在上可积,. (2)因为在上可积，且在上几乎处处成立，由勒贝格控制收敛定理，. 七. (10分) 设是一列可测集上可积函数,在上几乎处处成立,且 .是一列上可测函数,在上几乎处处成立,且. 求证: . 证: 由法都引理， ， 因此， 另一方面， ， 因此， 两不等式合起来，. 八.(10分) 设是可测集,是内的一列可测子集. 仿第五题 (1) 给出在上几乎处处成立的充分且必要条件，并证明; (2) 给出在上“基本上”一致收敛于的充分且必要条件，并证明. 解： （1）在上几乎处处成立的充分且必要条件是 . 这是由于, (2) 在上“基本上”一致收敛于的充分且必要条件是 . 充分性:若,则令 则因此在上“基本上”一致收敛于. 必要性:若在上“基本上”一致收敛于,则在上一致收敛于因此由第五题,存在使此可推得因此 由于是单调的,