数列分组求和法.doc

分组求和法 典题导入 [例]　(·山东高考)等比数列{}中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 ()求数列{}的通项公式； ()若数列{}满足：＝＋(－) ，求数列{}的前项和. [自主解答]　()当＝时，不合题意； 当＝时，当且仅当＝，＝时，符合题意； 当＝时，不合题意． 因此＝，＝，＝.所以公比＝，故＝·－.　 ()因为＝＋(－) ＝·－＋(－)(·－)＝·－＋(－)( － )＋(－) ， 所以＝＋＋…＋＝(＋＋…＋－)＋[－＋－＋…＋(－)]( － )＋[－＋－＋…＋(－)] ＝× \(－－)＋ ＝＋ －. 由题悟法 分组转化法求和的常见类型 ()若＝±，且{}，{}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}的前项和． ()通项公式为＝ \\\{\\ (\\\\(，为奇数，，为偶数))的数列，其中数列{}，{}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 以题试法 ．(·威海模拟)已知数列{}的首项＝，通项＝＋(∈*，，为常数)，且，，成等差数列．求： ()，的值； ()数列{}前项和的公式． 解：()由＝，得＋＝，又因为＝＋， ＝＋，且＋＝，得＋＋＝＋， 解得＝，＝. 由()，知＝＋，所以＝(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＝＋－＋ \((＋(). .数列 \()， \()， \()， \()，…的前项和为(　　)． ．＋－ \(－) ．＋－ \() ．＋－ \() ．＋－ \(－) 解析　由题意知已知数列的通项为＝－＋ \()， 则＝ \(?＋－?)＋ \(\()\\\(\\)(\\\\(－\()))－\())＝＋－ \(). 答案　 .已知等差数列{}的前项和为，且＝，＝. ()求数列{}的通项公式； ()设＝＋，求数列{}的前项和. 解析：()设等差数列{}的首项为，公差为， 由题意，得 \\\{\\ (\\\\(＋＝，＋\(×)＝，)) 解得 \\\{\\ (\\\\(＝，＝，))∴＝－. ()∵＝＋＝ \()·＋， ∴＝＋＋…＋ ＝ \()(＋＋…＋)＋(＋＋…＋) ＝ \(＋－)＋＋＝ \()·＋＋－ \(). .设{}是公比为正数的等比数列，＝，＝＋. ()求{}的通项公式； ()设{}是首项为，公差为的等差数列，求数列{＋}的前项和. 解析　()设为等比数列{}的公比，则由＝，＝＋得＝＋，即－－＝，解得＝或＝－(舍去)，因此＝. 所以{}的通项为＝·－＝(∈*) ＝ \(?－?－)＋×＋ \(?－?)×＝＋＋－. .求和＝＋ \\\(\\)(\\\\(＋\()))＋ \\\(\\)(\\\\(＋\()＋\()))＋…＋ \\\(\\)(\\\\(＋\()＋\()＋…＋\(－))). 解　和式中第项为 ＝＋ \()＋ \()＋…＋ \(－)＝ \(－\\\(\\)(\\\\(\()))－\())＝ \\\(\\)(\\\\(－\())). ∴＝ \\\[\\](\\\\(\\\(\\)(\\\\(－\()))＋\\\(\\)(\\\\(－\()))＋…＋\\\(\\)(\\\\(－\())))) ＝[(＋＋…＋ \((,\\(个))－( \()＋ \()＋…＋ \())] ＝ \\\(\\)(\\\\(－\(\()\\\(\\)(\\\\(－\()))－\())))＝ \(－)＋－. .数列{}的前项和为，＝，＝，＋－＝＋(－) (∈*)，则＝. 答案　 解析　由＋－＝＋(－)知＋－＝， ＋－－＝，∴＝＝＝…＝－＝，数列{}是等差数列，＝. ∴＝(＋＋＋…＋)＋(＋＋＋…＋) ＝＋(＋＋＋…＋)＝＋ \((＋(×)＝ . .求和：()＝ \()＋ \()＋ \()＋ \()＋…＋ \(·＋)； ()＝ \\\(\\)(\\\\(＋\()))＋ \\\(\\)(\\\\(＋\()))＋…＋ \\\(\\)(\\\\(＋\())). 解　()由于＝ \(·＋)＝＋ \()， ∴＝ \\\(\\)(\\\\(＋\()))＋ \\\(\\)(\\\\(＋\()))＋ \\\(\\)(\\\\(＋\()))＋…＋ \\\(\\)(\\\\(＋\())) ＝(＋＋＋…＋)＋ \\\(\\)(\\\\(\()＋\()＋\()＋…＋\())) ＝ \((＋()＋ \(\()\\\(\\)(\\\\(－\()))－\())＝ \((＋()－ \()＋. ()当＝±时，＝.当≠±时， ＝ \\\(\\)(\\\\(＋\()))＋ \\\(\\)(\\\\(＋\()))＋…＋ \\\(\\)(\\\\(＋\())) ＝ \\\(\\)(\\\\(＋＋\()))＋ \\\(\\)(\\\\(