早七同步拓展讲义四：部分分式分解.pdfVIP

早七同步拓展讲义四：部分分式分解 【知 1】 部分分式分解：是将有理函数分解成许多次数较低的有理函数的和的形式，来降低分子或分母多 项式的次数。分解后的分式需满足以下条件：分式的分母需为不可约多项式或其乘幂。分式的分子多项式 次数需比其分母多项式次数要低。 注：在本节我们大量使用求和求积符号，需对其形式更多加以熟悉。 在日后的学习中，我们尽量避免省略号的使用；部分分式分解的计算量较大，希望同学们进一步锻炼计算 的准确率. 【知 2】 部分分式分解有几种方法，其一是待定系数法。我们不加证明的给出如下定理： P(x) n m 为一有理分式，其中 i 2 j （这里源自代数基本定理，在实系数多 Q(x) (x  a ) i (x  p x  q ) .j j Q(x) i 1 j 1 项式环上作分解），且 那么可作部分分式分解，其结果为： degP  degQ， P(x) n i Aij m m B x  Cij ij  j   2 j .因此可将右侧通分与原式比较并解出所有待定的系数。 Q(x) i 1 j 1 (x  a )i i 1 j 1 (x  p x  q )i i 3 x  x  1 【例 1】用待定系数法进行部分分式分解： . 2 2 (x  2) (x  2x  2) 【知 3】 二、换元法，利用合理换元，可以简便计算，通常适用于分母为单个式子的幂次。 2 x 【例 1】 . (x 1)3 2 x  x 【例 2】求 的最大值，并求出此时的x. 2 2 (x  x  1) 【知 4】三、赋值法：赋值法可以求得所有的A ,B ,C . i,i i,i i,i P(x)  Q(x) 其中Ai,i  ,Q(x) i .这里竖线代表对竖线左侧的代数式代入竖线右下方给定的参数要求。 Q(x) (x  a )i x a i P(x) ˆ Q(x) 2 B   C ,Q(x) .  i,i i i,i ˆ 2 i 其中 为i