柯西不等式与排序不等式.许兴华数学.选编.pdfVIP

关注微信公众号 《许兴华数学》可获取更多精彩内容 1．二维形式的柯西不等式 2 ．二维形式的柯西不等式的变式 2 2 2 2 (1) a ＋b · c ＋d ≥|ac ＋bd|. 2 2 2 2 (2) a ＋b · c ＋d ≥|ac|＋|bd|. 2 2 2 2 (3) a ＋b · c ＋d ≥ac ＋bd. a c 1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成 ＝ 吗？ b d a c 提示：不可以 ．当b ·d ＝0 时，柯西不等式成立，但 ＝ 不成立 ． b d 2 2 2 ．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x ＋y 的最小值为________. 解析：根据二维形式的柯西不等式可得 2 2 2 2 2 (2x ＋3y ) ≤(2 ＋3 )(x ＋y ) ． 又因为2x ＋3y ＝13 ，所以x2 ＋y 2 ≥13.答案：13 3 ．设a ＝( －2,2) ，|b|＝6，则a·b 的最小值是________ ，此时b ＝__________. 许兴华数学1 关注微信公众号 《许兴华数学》可获取更多精彩内容 2 2 解析：因为|a·b|≤|a|·|b| ，所以|a·b|≤  －2 ＋2 ×6 ＝12 2 ， 当且仅当存在实数k ，使a ＝kb 时等号成立． 所以－12 2 ≤a·b≤12 2.所以a·b 的最小值为－12 2. 3 此时b ＝－ 2a ＝(3 2 ，－3 2) ． 2 答案：－12 2 (3 2 ，－3 2) 利用柯西不等式求函数最值 ＋ 2 2 已知x ，y ∈R ，且3x ＋2y ≤6，求w ＝2x ＋y 的最大值． 思路点拨 ：逆用柯西不等式：  2 1  2   2 (2x ＋y ) ＝ 3x· 3 ＋ 2y · .    2  2 1  2   2 解：(2x ＋y ) ＝ 3x· 3 ＋( 2y )·     2 2 1 2 2      ≤[( 3x) ＋ 2y  ] 3 2 ＋ 2 2      2 2 4 1 11 ＝(3x ＋2y )