高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课件北师大版必修4.ppt

-*- 首页 HEZUOXUEXI 合作学习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 ZIZHUYUXI 自主预习 §5　正弦函数的图像与性质 §5　从力做的功到向量的数量积 一 二 三 一、向量的夹角 1.定义:已知两个非零向量a和b,作 , ∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角. 2.范围:[0°,180°].当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b. 3.规定:零向量可与任一向量垂直. 四 一 二 三 答案:60°　120° 四 一 二 三 二、向量b在向量a方向上的射影 1.设向量a与向量b的夹角为θ,则|b|cos θ叫作向量b在向量a方向上的射影(也叫投影).? 2.如图所示,当θ为锐角时,|b|cos θ0; 当θ=90°时,|b|cos θ=0;当θ为钝角时,|b|cos θ0;当θ=0°时,|b|cos θ=|b|;当θ=180°时,|b|cos θ=-|b|. 四 一 二 三 【做一做2】 已知向量a,b的夹角是60°,|a|=5,|b|=8,则a在b方向上的射影等于　　　,b在a方向上的射影等于　　　.? b在a方向上的射影为|b|cos θ=8×cos 60°=4. 四 一 二 三 三、向量的数量积(或内积) 1.定义:已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ .? 2.几何意义:a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积.? 3.物理意义:力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s. 四 【做一做3】 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b等于(　　) 答案:C 一 二 三 四 四、向量的数量积的性质 1.若e是单位向量,则e·a=a·e=|a|cos θ. 2.若a⊥b,则a·b=0;反之,若a·b=0,则a⊥b,通常记作a⊥b?a·b=0. 5.对任意两个向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立. 知识拓展1.性质(2)可用于证明垂直问题:a⊥b?a·b=0. 2.性质(3)表明:当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方,因此可用于求向量的长度. 3.性质(4)可用于求两个向量的夹角. 4.性质(5)可以解决有关“不等式”的问题. 5.由性质(5)可知a∥b?a·b=±|a||b|. 一 二 三 四 【做一做4】 若a·c=b·c(c≠0),则(　　) A.a=b B.a≠b C.|a|=|b| D.a在c方向上的射影与b在c方向上的射影必相等 解析:设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2, ∵a·c=b·c, ∴|a|·|c|cos θ1=|b|·|c|cos θ2. ∵c≠0,∴|a|cos θ1=|b|cos θ2. 答案:D 一 二 三 四 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)向量a在向量b上的射影一定为正数. (　　) (2)向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c). (　　) (3)已知a≠0,且a·c=a·b,则b=c. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 求平面向量的数量积 【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求: (1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b);(4)|a+b|. 思路分析:依据数量积、模、夹角的定义→逐一进行计算即可 解:(1)a·b=|a||b|cos 120°=2×3× =-3. (2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5. (3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos 120°-3|b|2 =8-15-27=-34. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 反思感悟(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 利用数量积的性质求向量的模 解:(1)因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=