高中数学第二章2.2空间向量的运算第2课时空间向量的数量积课件北师大版选修2_1.ppt

-*- XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 第2课时　空间向量的数量积 一 二 思考辨析 一、空间向量的数量积 一 二 思考辨析 名师点拨对于空间向量的数量积,我们可以从以下几个方面理解: (1)向量a,b的数量积记为a·b,而不能表示为a×b或ab. (2)向量的数量积的结果为实数,而不是向量,其符号由夹角θ的余弦值的符号决定.当θ为锐角时,a·b0,但当a·b0时,θ不一定是锐角,因为θ也可能为0;当θ为钝角时,a·b0,但当a·b0时,θ不一定是钝角,因为θ也可能为π. 一 二 思考辨析 【做一做】 (1)已知两空间向量a,b的夹角为30°,且|a|=3,|b|=4,则a·b=　　　　　.? 一 二 思考辨析 二、空间向量数量积的运算律与几个结论 特别提醒当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对于任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0. 一 二 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)两个向量a,b的数量积的结果仍为向量. (　　) (3)若a,b,c是空间向量,则(a·b)c=a(b·c). (　　) (4)若a,b,c是空间向量,且a·b=a·c,则b=c. (　　) × × × × 探究一 探究二 探究三 空间向量的数量积 【例1】 如图,已知四面体A-BCD的每条棱长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点. 求下列向量的数量积: 思维点拨:因为四面体A-BCD的每条棱长都等于a,所以△ABC, 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 解:(1)在四面体A-BCD中, 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 反思感悟求两个向量的数量积时,一般要先保证向量之间的夹角已知或可求,最好是特殊角,再利用定义求解. 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 变式训练1已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,AC1与BD1交于点O,则有(　　) 答案:C 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 利用数量积求距离问题 【例2】如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将△ACD沿对角线AC折起,使AB与CD成60°,求B,D间的距离. 思维点拨:画出立体图,结合已知条件用长度与夹角均已知的向 角及其模均易知. 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 解:如图,∵∠ACD=90°, 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 反思感悟求两点间的距离或线段长度的方法: (1)将此线段用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量; 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 变式训练2如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长. 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 利用数量积求夹角问题 【例3】 如图,在四面体O-ABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求直线OA与BC夹角的余弦值. 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径 1.转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解; 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 变式训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成角的大小. ∴异面直线A1B与AC成60°角. 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 判断或证明垂直 【例4】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.证明:PA⊥BD. 证明:由底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD知,DA⊥BD, 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路 1.由数量积的性质a⊥b?a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量(a,b是非零向量),只要证明这两个向量的数量积为0即可. 2.用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可. 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练4如图,已知在四面体A-BCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC. 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 因对两向量夹角的定义理解不透彻而致误 【典例】 如图,在四面体A-BCD中,每条边的长度和两条对角线的长度都等于1,M,N分别为AB,AD的中点,求 纠错心得向量的