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牛顿迭代法 matlab程序（解线性方程组） 作者：佚名??来源：转载??发布时间：2009-3-7 16:55:53 减小字体 增大字体 1．功能 本程序采用牛顿法，求实系数高次代数方程 f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=０　（an≠０ ） 　　　　（1） 的在初始值x0附近的一个根。 2.使用说明 （1）函数语句 Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1) 调用M文件newton_1.m。 （2）参数说明 A n+1元素的一维实数组，输入参数，按升幂存放方程系数。 N　　 整变量，输入参数，方程阶数。 X0 实变量，输入参数，初始迭代值。 NN　 整变量，输入参数，允许的最大迭代次数。 EPS1　实变量，输入参数，控制根的精度。 3．方法简介 解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x)=f(x0)+(x－x0)fˊ(x0)+(x－x0)2 +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有 f(x0)+fˊ(x0)(x－x0)=0 设fˊ(x0)≠0则其解为 x1=x0－f(x0)/fˊ(x0) 再把f(x)在x1附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0，则得 x2=x1－f(x1)/fˊ(x1) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列 xn+1=xn－f(xn)/fˊ(xn) 4．newton_1.m程序 function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1) x(1)=x0； b=1； i=1； while(abs(b)eps1*x(i)) i=i+1； x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))； b=x(i)-x(i-1)； if(inn)error(ˊnn is fullˊ)； return； end end y=x(i)； i 程序中调用的n_f.m和n_df.m文件如下： function y=n_df(a,n,x)%方程一阶导数的函数y=0.0;for i=1:ny=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);end function y=n_df(a,n,x) y=0.0； for i=1:n y=y+a(i)*(n+１-i)*x?(n-i)； end 5．程序附注 （1）程序中调用n_f.m和n_df.m文件。n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m是方程一阶导数的函数。由使用者自己编写。 （2）牛顿迭代法的收敛速度：如果f(x)在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是f(x)的一个重零点，且初始值x0充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，其收敛速度是二阶的，即平方收敛速度。 6．例题 用牛顿法求下面方程的根 f(x)=x3+2x2+10x-20 y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i); 7．运行结果 a=[1,2,10,-20] ； n=3； x0=1； nn=1000； eps1=1e-8； y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1) y= 1.368808107821373e+000 i= 6 function fp = newton_interpolation(x,y,p) % Script for Newtons Interpolation. % Muhammad Rafiullah Arain % Mathematics Basic Sciences Department % NED University of Engineering Technology - Karachi % Pakistan. % --------- % x and y are two Row Matrices and p is point of interpolation % % Example % x=[1,2,4,7,8] % y=[-9,-41,-189,9,523] % newton_interpolation(x, y, 5) % OR % a = newton_interpolation(x, y, 5) n = length(x); a(1) = y(1); for k = 1 : n - 1 d(k, 1) = (y(k+1) - y(k))/(x(k+1) - x(k)); end for j = 2 : n - 1 for k = 1 : n - j d(k, j) = (d(k+1, j - 1) - d(k, j - 1))/(x(k+j) - x(k)); end end d for j