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2004 年第 3 期 5 裴 蜀 定 理 的 应 用 胡 生 淼 (湖北省仙桃中学 ,433000) (本讲适合高中) 5 4 ) 的点 到直线 y = x + 的距离中的最小值 裴蜀定理是数论中一个十分重要的基本 3 5 ( ) 定理 ,在各级各类数学竞赛中出现了很多以 是 . 其为背景的试题. 因此 ,了解该定理有助于我 34 34 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D 们揭示问题的实质 ,做到有的放矢. 170 85 20 30 (2000 ,全国高中数学联赛) ( ) 裴蜀定理 设 a 、b 、d 是整数 ,则 a , b 讲解 :先由点到直线的距离公式得到距 = d 的充要条件是d | a , d | b ,存在整数 u 、v , 离再作分析. 使得 ua + vb = d . 将已知直线化为 25 x - 15y + 12 = 0 . 设 ( ) 推论 1 a , b = 1 的充要条件是 ,存在 ( ) 整数 u 、v ,使得 ua + vb = 1 . 平面上整点 x0 ,y 0 到直线的距离为 ( ) | 25 x0 - 15y 0 + 12| 从而 ,当 a , b = 1 时 , ua + vb 可表示所 d = . 有整数. 由此,又得到下面的推论.
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