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第六节 幂级数的应用 分布图示 ★ 函数值的近似计算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 计算定积分 ★ 例3 ★ 例4 ★ 求常数项级数的和 ★ 例5 ★ 例6 ★ 欧拉公式 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12-6 ★ 返回 内容要点 一、函数值的近似计算：级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算. 在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，可以把函数近似表为 SKIPIF 1 0 的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算，非常简便. 二、计算定积分：许多函数, 如 SKIPIF 1 0 等，其原函数不能用初等函数表示，但若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分. 三、求常数项级数的和：在本章的前三节中，我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法，包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法. 这里，我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的和的方法，即所谓的阿贝尔方法，其基本步骤如下： （1）对所给数项级数 SKIPIF 1 0 构造幂级数 SKIPIF 1 0 ； （2）利用幂级数的运算性质，求出 SKIPIF 1 0 的和函数 SKIPIF 1 0 ； （3）所求数项级数 SKIPIF 1 0 四、欧拉公式 例题选讲 函数值的近似计算 例1（E01）利用 SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 的近似值，并估计误差. 解 利用所给近似公式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 的展开式是收敛的交错级数，且各项的绝对值单调减少，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 因此，若取 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 则得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 其误差不超过 SKIPIF 1 0 例2（E02）计算 SKIPIF 1 0 的近似值, 要求误差不超过0.0001. 解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 利用二项展开式，并取 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 即得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 这个级数收敛很快.取前两项的和作为 SKIPIF 1 0 的近似值，其截断误差为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故取近似式为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 为了使舍入误差与截断误差之和不超过 SKIPIF 1 0 计算时应取五位小数，然后再四舍五入. 因此最后得 SKIPIF 1 0 例3（E03）计算 SKIPIF 1 0 的近似值，精确到10 SKIPIF 1 0 . 解 利用 SKIPIF 1 0 的麦克劳林展开式,得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 收敛的交错级数因其第四项 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故取前三项作为积分的近似值,得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例4（E04）计算定积分 SKIPIF 1 0 的近似值，要求误差不超过0.0001（取 SKIPIF 1 0 ）. 求常数项级数的和 解 利用指数函数的幂级数展开式得: