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第1章 逻辑代数基础 1.6 逻辑代数的定律及规则 逻辑代数是一个封闭的代数系统，他也与普通代数一样，有一套完整的运算规则，包括公理、定理和定律，用它们对逻辑函数式进行处理，可以完成对电路的化简、变换、分析与设计。 1.6.1逻辑代数的基本定律 逻辑代数有以下9个定律，表1.12列举了这9个定律，其中有的定律和普通代数相似，有的定律和普通代数不同，使用时切勿混淆。 1.6.2 逻辑代数的基本规则 逻辑代数有3条重要规则，即代入规则、反演规则和对偶规则。这些规则在逻辑运算中十分有用。 一 代入规则 代入规则的基本内容是：对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 代入规则的正确性是显然的，因为任何逻辑函数都和逻辑变量一样，只有0和1两种可能的取值。 利用代入规则可以方便地扩展公式。例如，在反演律 中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立： 使用代入规则必须将等式中所有出现同义变量的地方均以同一函数代替，否则带入后的等式就不成立。 二 反演规则 将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋ →· ； 0 → 1，1 → 0 ； 原变量 → 反变量， 反变量 → 原变量。 所得新函数表达式叫做F的反函数，用 表示。 利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 例1.6.3 求函数 的反函数。 例1.6.4 求函数 的反函数。 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： 保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例1.6.3。 变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例1.6.4。 三 对偶规则 将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1，1 → 0 所得新函数表达式叫做F的对偶式，用 表示。 对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。 利用对偶规则可以帮助我们减少公式的记忆量。例如，表1.14中的公式l和公式2就互为对偶，只需记住一边的公式就可以了。因为利用对偶规则，不难得出另一边的公式。 1.6.3 逻辑函数的代数化简法 一 逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。常见的逻辑式主要有5种形式，例如 在上述多种表达式中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。因此，在化简逻辑函数时，通常是将逻辑式化简成最简与—或表达式，然后再根据需要转换成其他形式。 2．最简与—或表达式的标准 （1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。 3．用代数法化简逻辑函数 用代数法化简逻辑函数，就是直接利用逻辑代数的基本公式和基本规则进行化简。代数法化简没有固定的步骤，常用的化简方法有以下几种。 并项法。运用公式 ，将两项合并为一项，消去一个变量。如 在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。 1.6.4 逻辑函数的卡如图化简法 本节介绍一种比代数法更简便、直观的化简逻辑函数的方法。它是一种图形法，是由美国工程师卡诺（Karnaugh）发明的，所以称为卡诺图化简法。 一 最小项的定义与性质 1．最小项的定义 在n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。其中每个变量在该乘积项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，但只能出现一次。n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。 如三变量逻辑函数F=f（A,B,C）的最小项共有23=8个，列入表中。 从表3.2.2 中可以看出最小项具有以下几个性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 二 逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式。 三．卡诺图 1．相邻最小