矩阵的等价相似与合同.docxVIP

矩阵的等价相似与合同 　　目录　　摘要...............................................................................................................I引言................................................................................................................11矩阵间的三种关系.......................................................................................矩阵的等价关系........................................................................................矩阵的合同关系......................................................................................矩阵的相似关系.......................................................................................22矩阵的等价、合同和相似之间的联系........................................................33矩阵的等价、合同和相似之间的区别.........................................................5结束语............................................................................................................6参考文献.........................................................................................................6　　摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举　　足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．　　关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件　　引言：　　在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.　　1矩阵间的三种关系　　矩阵的等价关系　　定义1两个s?n矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的　　n阶矩阵Q，使B?PAQ　　由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件：矩阵A与B必为同型矩阵.　　存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使得B?PAQ.　　性质1　　反身性：即A?A.　　对称性：若A?B，则B?A　　传递性：即若A?B，B?C，则A?C　　定理1若A为m?n矩阵，且r(A)?r，则一定存在可逆矩阵P和　　?Ir　　Q，使得PAQ??　　?0　　0?　　?B.其中Ir为r阶单位矩阵.?0?m?n　　推论1设A、B是两m?n矩阵，则A?B当且仅当r(A)?r(B).矩阵的合同关系　　定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵　　p　　，使得PTAP?B,则称矩阵为合同矩阵，由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2)存在数域p上的n阶矩阵p,PTAP?B　　性质2　　反身性：任意矩阵A都与自身合同.　　对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.　　传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.　　因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.