常微分方程的基本概念.pptVIP

math 1.微分方程的基本概念 2.一阶常微分方程 3.二阶线性微分方程 十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。 学科背景 解 A.求曲线方程 问题的提出： 一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求 质点下落距离S与时间t的函数关系。 解：将质点的初始位置取为原点，沿质点运动方向 取正向。已知自由落体的加速度为g,即： B.质点自由下落 定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微分方程. 未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程. 未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程. 例如 5.1 微分方程的基本概念 例如 定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶. 一阶 二阶 二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程. 定义3: ( 微分方程的解) 称为微分方程的通解. 通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特解. 微分方程的通解： 定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族) 积分曲线族 ? 1.微分方程的通解和特解有何区别和联系? 2.判断下列函数是否是微分方程 的解，是通解还是特解? (1) (2) (3) (4) §5.2 一阶常微分方程 1. 变量可分离型 3. 一阶线性方程 2. 可化为可分离变量 主要类型 5.2.1可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程 这类方程的解法，通常是先将变量分离，再两边积分即可. 两边积分 通解 分离变量 这两个方程的共同特点 是变量可分离型 (1) [解] 两边积分 分离变量 即 于是得到方程 通解 (2) [解] 分离变量 两端积分, 得 通解 奇异解 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时 例 5.2.2 可化为可分离变量的方程 解齐次方程时,通常用变量替换法,即 将齐次方程化为可变量分离的方程. 这两个方程的共同特点是什麽 ? 可化为 齐次型方程 求解方法 这是什麽方程？ 可分离变量方程！ 分离变量 两端积分 由此又得到 通解 两端积分 得 通解 例3 解 可得 ?OMA = ? OAM = ? 例 在制造探照灯反射镜面时, 解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : 利用曲线的对称性, 不妨设 y 0, 积分得 故有 得 (抛物线) 故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程) 顶到底的距离为 h , 说明: 则将 这时旋转曲面方程为 若已知反射镜面的底面直径为 d , 代入通解表达式得 math