高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系地应用.docVIP

实用文案 标准文档 高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项 一、积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝a2，|a|＝eq \r(x2＋y2＋z2). 2．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角 公式 cos〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))) 3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较： 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ且同过点P ＝x＋y 对空间任一点O，＝→＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 一、空间向量的简单应用 1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是(　　) A．a∥c，b∥c　　　　　　　　 B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 3．(教材习题改编)下列命题： ①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0； ②若＝x＋y，则M、P、A、B共面； ③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面． 其中正确的个数为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 4．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)． 5．013·大同月考)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 6已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　) A.eq \f(62,7)　　　　　　　　　　 B.eq \f(63,7) C.eq \f(60,7) D.eq \f(65,7) 二、利用空间向量证明平行或垂直 [例]　已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE. 8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________． 方法 利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直． (1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)． 则l1∥l2?v1∥v2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． l1⊥l2?v1⊥v2?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α?v⊥n?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. l⊥α?v∥n?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)． (3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2，α⊥β?n1⊥n2. 1.2012·长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝eq \r(3)，BC＝4. (1)求证：BD⊥PC； (2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值． 2.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°. (1)求证：C1C⊥BD； (2)当eq